Konu anlatımı
EKOK problemlerinde küçük parçalar bir araya getirilerek en küçük ortak bütün kurulur. Bu alt başlıkta geometrik birleştirme problemlerini, farklı adımların buluşmasını ve “en az kaç tane” sorusunun EKOK ile nasıl çözüldüğünü göreceksin.
Dikdörtgenlerden kare oluşturma
Kenarları a ve b olan eş dikdörtgen kartonlar, aynı yönde yan yana ve alt alta dizilerek bir kare oluşturulacaksa karenin kenarı hem a'nın hem b'nin katı olmalıdır. En küçük kare kenarı EKOK(a, b), gereken karton sayısı (EKOK/a)·(EKOK/b) olur.
Örneğin 12 cm × 18 cm kartonlarla oluşturulabilecek en küçük karenin kenarı EKOK(12, 18) = 36 cm'dir. Bir kenar boyunca 36/12 = 3, öbür kenar boyunca 36/18 = 2 karton sığar; toplam 3·2 = 6 karton gerekir.
Kutulardan küp oluşturma
Boyutları a, b, c olan eş kutular aynı yönde dizilerek içi dolu bir küp oluşturulacaksa küpün kenarı EKOK(a, b, c), kutu sayısı (EKOK/a)·(EKOK/b)·(EKOK/c) olur. 4 cm × 6 cm × 10 cm kutularla en küçük küpün kenarı EKOK(4, 6, 10) = 60 cm, kutu sayısı 15·10·6 = 900'dür.
Farklı adımlarla ortak noktada buluşmak
Farklı uzunluktaki adımlarla ilerleyen iki kişinin ayak izlerinin ilk kez çakıştığı uzaklık, adım uzunluklarının EKOK'udur. Adımları 60 cm ve 75 cm olan iki kişi aynı noktadan başlarsa izleri ilk kez EKOK(60, 75) = 300 cm sonra çakışır; bu sırada birinci kişi 5, ikinci kişi 4 adım atmış olur.
Aynı fikir dişli çarklarda da geçerlidir: 12 ve 20 dişli iki çark birbirine geçmişse başlangıçta temas eden dişler, EKOK(12, 20) = 60 diş ilerlendiğinde yeniden karşılaşır; bu sürede küçük çark 5, büyük çark 3 tur atar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenarları 15 cm ve 25 cm olan eş dikdörtgen fayanslar aynı yönde döşenerek kare biçiminde bir alan kaplanacaktır. Bu karenin alanı en az kaç cm² olur ve kaç fayans gerekir?
Çözüm. Karenin kenarı 15'in ve 25'in ortak katı olmalıdır; en küçüğü EKOK(15, 25)'tir. 15 = 3·5 ve 25 = 5² olduğundan EKOK = 3·5² = 75 cm bulunur. Alan 75² = 5625 cm² olur. Bir kenar boyunca 75 ÷ 15 = 5, öbür kenar boyunca 75 ÷ 25 = 3 fayans sığar; toplam 5·3 = 15 fayans gerekir.
Örnek 2. Boyutları 6 cm, 8 cm ve 12 cm olan eş tuğlalar aynı yönde dizilerek içi dolu bir küp yapılacaktır. En az kaç tuğla gerekir?
Çözüm. Küpün kenarı üç boyutun ortak katı olmalıdır; en küçüğü EKOK(6, 8, 12)'dir. 6 = 2·3, 8 = 2³, 12 = 2²·3 olduğundan EKOK = 2³·3 = 24 cm'dir. Her boyut boyunca 24 ÷ 6 = 4, 24 ÷ 8 = 3 ve 24 ÷ 12 = 2 tuğla dizilir. Toplam 4·3·2 = 24 tuğla gerekir.
Sık yapılan hatalar
- Kare oluşturma sorusunda EBOB kullanmak; birleştirerek büyüme EKOK gerektirir.
- Gereken parça sayısını kenarlar boyunca ayrı ayrı bulup çarpmak yerine yanlış bir bölme yapmak.
- Kutuların aynı yönde dizilmesi koşulunu göz ardı etmek.
- En küçük kare kenarı EKOK(a, b), parça sayısı (EKOK/a)·(EKOK/b).
- En küçük küp kenarı EKOK(a, b, c), kutu sayısı (EKOK/a)·(EKOK/b)·(EKOK/c).
- Farklı adımların ilk çakışması adım uzunluklarının EKOK'unda olur.