Konu anlatımı
Mutlak değerli bir denklem, bir ifadenin 0'a uzaklığı hakkında bilgi verir. Uzaklığı belli olan bir nokta sayı doğrusunda iki yerde olabilir; bu yüzden bu denklemler çoğunlukla iki ayrı denkleme dönüşür. Bu alt başlıkta üç temel kalıbı ve her birinde nelere dikkat edeceğini öğreneceksin.
|A| = c kalıbı
c pozitifse A = c veya A = −c'dir; c = 0 ise yalnızca A = 0'dır; c negatifse çözüm yoktur. |3x + 1| = 8 için 3x + 1 = 8 veya 3x + 1 = −8 yazılır; buradan x = 7/3 veya x = −3 bulunur. |x − 4| = −2 denkleminin ise çözümü yoktur, çünkü sol taraf negatif olamaz.
Önce mutlak değeri yalnız bırakmayı unutma: 2|x + 1| − 3 = 5 denkleminde önce |x + 1| = 4 elde edilir, sonra x + 1 = 4 veya x + 1 = −4 ile x = 3 veya x = −5 bulunur.
|A| = |B| kalıbı
İki ifadenin 0'a uzaklıkları eşitse ifadeler ya eşittir ya da birbirinin negatifidir: A = B veya A = −B. |2x − 1| = |x + 4| için 2x − 1 = x + 4 denkleminden x = 5; 2x − 1 = −(x + 4) denkleminden 3x = −3 ve x = −1 bulunur. Kontrol: x = 5 için iki taraf da 9, x = −1 için iki taraf da 3'tür.
Sağ tarafta bilinmeyen varsa
|A| = B ve B bilinmeyen içeriyorsa B ≥ 0 olmak zorundadır. Önce A = B ve A = −B denklemlerini çözersin, sonra bulduğun her kökün B ≥ 0 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edersin. Koşulu sağlamayan kök atılır.
Örneğin |x − 3| = 2x için x − 3 = 2x denkleminden x = −3, x − 3 = −2x denkleminden x = 1 bulunur. x = −3 için sağ taraf 2x = −6 negatiftir, bu kök atılır. x = 1 için |1 − 3| = 2 = 2·1 olduğundan çözüm yalnızca x = 1'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ||x − 2| − 3| = 1 denkleminin kökleri nelerdir?
Çözüm. Dıştaki mutlak değeri açarız: |x − 2| − 3 = 1 ya da |x − 2| − 3 = −1. Birinci durumda |x − 2| = 4, yani x = 6 ya da x = −2. İkinci durumda |x − 2| = 2, yani x = 4 ya da x = 0. İki durumda da sağ taraf pozitif olduğu için bütün kökler geçerlidir. Denklemin dört kökü vardır: −2, 0, 4, 6.
Örnek 2. |x + 1| = 3x − 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm. Sağ taraf negatif olamayacağı için 3x − 5 ≥ 0, yani x ≥ 5/3 olmalıdır. x + 1 = 3x − 5 denkleminden 2x = 6 ve x = 3 bulunur; 3 ≥ 5/3 olduğu için kök geçerlidir. x + 1 = −(3x − 5) denkleminden 4x = 4 ve x = 1 bulunur; ama 3·1 − 5 = −2 negatif olduğu için bu kök atılır. Çözüm kümesi {3}'tür.
Sık yapılan hatalar
- Sağ taraf negatif bir sayıyken çözüm aramak.
- Sağ tarafta bilinmeyen varken bulunan kökleri kontrol etmemek.
- Mutlak değeri yalnız bırakmadan iki duruma ayırmak: 2|x + 1| − 3 = 5 için 2(x + 1) − 3 = ±5 gibi yanlış bir yazım.
- |A| = c ve c > 0 ise A = c veya A = −c; c < 0 ise çözüm yoktur.
- |A| = |B| ise A = B veya A = −B.
- |A| = B'de B ≥ 0 olmalıdır; bulunan kökleri bu koşulla kontrol et.