Konu anlatımı
Mutlak değerin en güçlü yorumu uzaklıktır: |x − a|, x ile a arasındaki uzaklıktır. Bu yorumla birçok denklem ve eşitsizlik hiç hesap yapmadan, sayı doğrusuna bakarak çözülür. Bu alt başlıkta bu bakış açısını ve aralıkları mutlak değerle yazmayı öğreneceksin.
|x − a| bir uzaklıktır
|x − a| ifadesi sayı doğrusunda x noktasının a noktasına uzaklığıdır. |x + a| = |x − (−a)| olduğu için |x + 3|, x'in −3'e uzaklığıdır. Bu yüzden |x − 5| = 2 denklemi “5'e uzaklığı 2 olan sayılar” sorusudur ve cevabı 3 ile 7'dir. |x + 3| ≤ 4 ise “−3'e uzaklığı en çok 4 olan sayılar”dır, yani −7 ≤ x ≤ 1.
Aralığı mutlak değerle yazmak
Bir [p, q] aralığı, ortasındaki m = (p + q)/2 noktasına uzaklığı en çok r = (q − p)/2 olan sayılardan oluşur. Bu yüzden p ≤ x ≤ q ⇔ |x − m| ≤ r yazılabilir. Örneğin −1 ≤ x ≤ 7 için m = 3 ve r = 4'tür: |x − 3| ≤ 4.
Aralığın dışındaki sayılar ise merkeze uzaklığı r'den büyük olanlardır: x < −1 veya x > 7 koşulu |x − 3| > 4 biçiminde yazılır. Verilen bir aralığa karşılık gelen mutlak değerli ifadeyi bulmanın en hızlı yolu budur.
İki nokta arasındaki uzaklık ve orta nokta
Sayı doğrusundaki a ve b noktalarının uzaklığı |a − b|'dir. x'in a'ya ve b'ye uzaklıklarının eşit olması |x − a| = |x − b| denklemiyle anlatılır; a ≠ b ise bu denklemin tek çözümü orta nokta x = (a + b)/2'dir. Örneğin |x − 2| = |x + 6| denkleminin çözümü 2 ile −6'nın orta noktası olan −2'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sayı doğrusunda 4'e uzaklığı 3'ten az olan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. Koşul |x − 4| < 3 biçiminde yazılır ve −3 < x − 4 < 3, yani 1 < x < 7 demektir. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5, 6'dır; 4'e uzaklıkları 2, 1, 0, 1, 2 olup hepsi 3'ten azdır. Toplamları 20'dir.
Örnek 2. −5 < x < 3 aralığı |x − a| < b biçiminde yazılırsa a + b kaçtır?
Çözüm. Aralığın merkezi a = (−5 + 3)/2 = −1, yarı uzunluğu b = (3 − (−5))/2 = 4'tür. Aralık |x + 1| < 4 biçiminde yazılır. Kontrol: −4 < x + 1 < 4 eşitsizliğinden −5 < x < 3 elde edilir. a + b = −1 + 4 = 3'tür.
Sık yapılan hatalar
- |x + 3| ifadesini x'in 3'e uzaklığı sanmak; doğrusu −3'e uzaklıktır.
- Aralığın merkezini bulurken uçları toplayıp 2'ye bölmeyi unutmak.
- Aralığın dışını anlatırken ≤ ile > işaretlerini karıştırmak.
- |x − a|, x ile a arasındaki uzaklıktır; |x + a|, x'in −a'ya uzaklığıdır.
- p ≤ x ≤ q ⇔ |x − (p + q)/2| ≤ (q − p)/2.
- a ≠ b ise |x − a| = |x − b| denkleminin çözümü orta nokta (a + b)/2'dir.