Konu anlatımı
Mutlak değerli bir ifadeyi sadeleştirmenin anahtarı, içerideki ifadenin işaretini bilmektir. İşaret belliyse mutlak değer işareti tek adımda kaldırılır. Bu alt başlıkta işareti nasıl belirleyeceğini ve kuralın harfli ve köklü ifadelerde nasıl uygulandığını göreceksin.
Temel kural
İçerideki ifade pozitif ya da sıfırsa mutlak değer işareti kaldırılır ve ifade aynen yazılır. İçerideki ifade negatifse ifade −1 ile çarpılarak, yani bütün terimlerin işareti değiştirilerek yazılır: |3 − 7| = −(3 − 7) = 7 − 3 = 4. Negatif bir farkın mutlak değeri, büyük terimden küçük terimi çıkarmak gibi düşünülebilir.
Sıralaması verilen harfler
Soruda a < b < 0 < c gibi bir sıralama verilmişse her mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini bu sıralamadan çıkarırsın. Fark ifadelerinde “büyük − küçük” pozitif, “küçük − büyük” negatiftir. İki pozitifin toplamı pozitif, iki negatifin toplamı negatiftir; farklı işaretlilerde ise işaretsiz değeri büyük olanın işareti geçer ve bu bilgi verilmemişse işaret belirlenemez.
Örneğin a < b < 0 < c için |a − b| = b − a, |c − a| = c − a ve |a + b| = −a − b olur. |b + c| ise ancak b ile c'nin işaretsiz değerleri karşılaştırılabiliyorsa açılabilir.
Köklü sayılarla sadeleştirme
İçeride köklü sayı varsa yaklaşık değeri kullanırsın: √3 ≈ 1,73 olduğundan |√3 − 2| = 2 − √3 ve |√3 − 1| = √3 − 1 olur. Bu ikisinin toplamı (2 − √3) + (√3 − 1) = 1'dir; köklü terimler birbirini götürür.
Karşılaştırma zor görünüyorsa iki pozitif sayının karelerini karşılaştırabilirsin: 3√2 = √18 ve 2√5 = √20 olduğundan 3√2 − 2√5 negatiftir ve |3√2 − 2√5| = 2√5 − 3√2 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x < −2 olduğuna göre |x + 2| − |3 − x| + |x| ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm. x < −2 ise x + 2 negatiftir: |x + 2| = −x − 2. 3 − x pozitiftir, çünkü negatif bir sayıyı 3'ten çıkarmak sayıyı büyütür: |3 − x| = 3 − x. x negatif olduğu için |x| = −x. İfade (−x − 2) − (3 − x) + (−x) = −x − 2 − 3 + x − x = −x − 5 olur. Kontrol: x = −5 için |−3| − |8| + |−5| = 3 − 8 + 5 = 0 ve −(−5) − 5 = 0.
Örnek 2. |√5 − 3| + |2 − √5| + |√5 − 1| ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm. √5 ≈ 2,24 olduğunu kullanırız. √5 − 3 negatiftir: |√5 − 3| = 3 − √5. 2 − √5 negatiftir: |2 − √5| = √5 − 2. √5 − 1 pozitiftir: |√5 − 1| = √5 − 1. Toplam (3 − √5) + (√5 − 2) + (√5 − 1) = √5 olur.
Sık yapılan hatalar
- Mutlak değeri yalnızca eksi işaretlerini silmek sanmak: |x − 5| ifadesini x + 5 yapmak.
- İçerinin işaretini belirlemeden mutlak değeri kaldırmak.
- İçerisi negatifken yalnızca ilk terimin işaretini değiştirmek; bütün terimlerin işareti değişir.
- İçi pozitif ya da sıfırsa aynen, negatifse −1 ile çarpılarak çıkar.
- Fark ifadesinde büyük − küçük pozitif, küçük − büyük negatiftir.
- Köklü sayıları karşılaştırırken yaklaşık değerleri ya da kareleri kullan.