Konu anlatımı
İçinde iki mutlak değer bulunan ifadelerde her mutlak değerin işareti x'e göre değişir. Bu alt başlıkta kritik nokta yöntemiyle ifadeleri bölge bölge açmayı ve uzaklık yorumuyla |x − a| + |x − b| gibi ifadelerin en küçük değerini hesapsız bulmayı göreceksin. Lise programı ikiden çok mutlak değer içeren denklem ve eşitsizliklere girmez.
Kritik nokta yöntemi
Her mutlak değerin içini 0 yapan değere kritik nokta denir. |x − 1| + |x + 2| ifadesinde kritik noktalar 1 ve −2'dir; bunlar sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır: x < −2, −2 ≤ x < 1 ve x ≥ 1. Her bölgede iki mutlak değerin içinin işareti sabittir ve ifadeyi mutlak değersiz yazabilirsin.
x < −2 iken iki iç ifade de negatiftir: −(x − 1) − (x + 2) = −2x − 1. −2 ≤ x < 1 iken ilki negatif, ikincisi pozitif ya da sıfırdır: −(x − 1) + (x + 2) = 3. x ≥ 1 iken ikisi de pozitif ya da sıfırdır: (x − 1) + (x + 2) = 2x + 1.
|x − a| + |x − b| ifadesinin en küçük değeri
Uzaklık yorumuyla bu ifade, x'in a'ya ve b'ye uzaklıklarının toplamıdır. x, a ile b arasındaysa iki uzaklığın toplamı tam olarak a ile b arasındaki uzaklığa eşittir; dışarıdaysa daha büyüktür. Bu yüzden en küçük değer |a − b|'dir ve a ile b arasındaki (uçlar dahil) her x için alınır. Bir önceki bölümde orta bölgede bulunan 3 sonucu bunu doğrular: 1 ile −2 arasındaki uzaklık 3'tür.
|x − a| − |x − b| farkı ise −|a − b| ile |a − b| arasında değer alır. Fark, x'in a'ya ve b'ye uzaklıklarının farkıdır ve bu fark hiçbir zaman a ile b arasındaki uzaklığı aşamaz.
İki mutlak değerli denklemler
|x − 1| + |x + 2| = 7 denklemini bölgelere ayırarak çözersin. x < −2 bölgesinde −2x − 1 = 7, yani x = −4 bulunur ve bu değer bölgeye uyar. Orta bölgede ifade sabit 3'tür ve 7'ye eşit olamaz. x ≥ 1 bölgesinde 2x + 1 = 7, yani x = 3 bulunur ve bölgeye uyar. Çözüm kümesi {−4, 3}'tür.
Her bölgede bulunan kökün o bölgeye ait olup olmadığını mutlaka kontrol et; ait değilse atılır. Ayrıca toplam, en küçük değerinden (burada 3) küçük bir sayıya eşitlenmişse denklemin çözümü yoktur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. |x + 3| + |x − 5| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır ve bu değer kaç tam sayı x için alınır?
Çözüm. İfade, x'in −3'e ve 5'e uzaklıklarının toplamıdır. En küçük değer −3 ile 5 arasındaki uzaklık olan |−3 − 5| = 8'dir ve −3 ≤ x ≤ 5 olan her x için alınır. Bu aralıkta 5 − (−3) + 1 = 9 tam sayı vardır.
Örnek 2. |2x − 4| + |x + 1| = 9 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm. Kritik noktalar 2x − 4 = 0 için x = 2 ve x + 1 = 0 için x = −1'dir. x < −1 bölgesinde −(2x − 4) − (x + 1) = −3x + 3 = 9, yani x = −2 bulunur ve bölgeye uyar. −1 ≤ x < 2 bölgesinde −(2x − 4) + (x + 1) = −x + 5 = 9, yani x = −4 bulunur ama bölgeye uymadığı için atılır. x ≥ 2 bölgesinde (2x − 4) + (x + 1) = 3x − 3 = 9, yani x = 4 bulunur ve bölgeye uyar. Çözüm kümesi {−2, 4}'tür. Kontrol: x = −2 için 8 + 1 = 9, x = 4 için 4 + 5 = 9.
Sık yapılan hatalar
- Bölgelerde bulunan kökün o bölgeye ait olup olmadığını kontrol etmemek.
- Kritik noktaları yanlış bulmak: |2x − 4| için kritik nokta 4 değil 2'dir.
- |x − a| + |x − b| ifadesinin en küçük değerini a + b sanmak; doğrusu |a − b|'dir.
- Kritik noktalar sayı doğrusunu bölgelere ayırır; her bölgede mutlak değerler kaldırılır.
- |x − a| + |x − b| ≥ |a − b|; eşitlik a ile b arasındaki x'ler için sağlanır.
- Bulunan her kökü kendi bölgesiyle kontrol et.