Konu anlatımı
Mutlak değerin özellikleri, ifadeleri açmadan sadeleştirmeni sağlar. Bu alt başlıkta programdaki temel özellikleri, neden doğru olduklarını ve sık yapılan bir hatanın, yani toplamın mutlak değerini mutlak değerlerin toplamı sanmanın nedenini göreceksin.
Çarpma, bölme ve kuvvet
Bir çarpımın 0'a uzaklığı, çarpanların 0'a uzaklıklarının çarpımıdır: |x·y| = |x|·|y|. İşaret çarpımın büyüklüğünü değiştirmez, yalnızca yönünü belirler; mutlak değer de yönü silip büyüklüğü bırakır. Aynı nedenle y ≠ 0 için |x/y| = |x|/|y| ve n pozitif tam sayı için |xⁿ| = |x|ⁿ'dir: |(−2)³| = |−8| = 8 = |−2|³.
Özel olarak |x|² = |x²| = x² olur, çünkü x² zaten negatif değildir. Bu özellik bir sabiti mutlak değerin dışına almanı da sağlar: |6 − 2x| = |−2·(x − 3)| = 2·|x − 3|.
Simetri: |x| = |−x|
x ile −x, sayı doğrusunda 0'a göre simetriktir ve 0'a uzaklıkları eşittir. Bu özellik |a − b| = |b − a| eşitliğini de verir: a ile b arasındaki uzaklık, hangisinden başladığına bağlı değildir. Örneğin |3 − 8| = |8 − 3| = 5.
Üçgen eşitsizliği
Her x ve y için |x + y| ≤ |x| + |y| geçerlidir. x ile y aynı işaretliyse ya da biri 0'sa eşitlik olur: |3 + 4| = 7 = |3| + |4|. Farklı işaretliyse toplama sırasında birbirlerini kısmen götürürler ve sol taraf küçük kalır: |3 + (−4)| = 1 iken |3| + |−4| = 7.
Bu yüzden |x + y| ifadesini |x| + |y| diye açamazsın; bu eşitlik ancak iki sayının aynı işaretli olduğunu biliyorsan doğrudur. Benzer biçimde |x − y| ≥ |x| − |y| eşitsizliği de her zaman geçerlidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. |x| = 3 ve |y| = 5 olduğuna göre |x + y| ifadesinin alabileceği değerler nelerdir?
Çözüm. x, 3 ya da −3; y, 5 ya da −5 olabilir. Aynı işaretli seçimlerde (3 ve 5 ya da −3 ve −5) toplam 8 ya da −8 olur ve mutlak değeri 8'dir; bu, üçgen eşitsizliğinin eşitlik durumudur. Farklı işaretli seçimlerde toplam −2 ya da 2 olur ve mutlak değeri 2'dir. |x + y| yalnızca 2 ya da 8 değerini alabilir.
Örnek 2. |6 − 2x| + |x − 3| = 12 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. Önce iki mutlak değeri aynı biçime getiririz: |6 − 2x| = |−2·(x − 3)| = |−2|·|x − 3| = 2|x − 3|. Denklem 2|x − 3| + |x − 3| = 12, yani 3|x − 3| = 12 ve |x − 3| = 4 olur. Buradan x − 3 = 4 ya da x − 3 = −4, yani x = 7 ya da x = −1 bulunur. Değerlerin toplamı 6'dır.
Sık yapılan hatalar
- |x + y| ifadesini her durumda |x| + |y| diye açmak.
- |x − y| ifadesini |x| − |y| sanmak.
- |−x| ifadesini −|x| sanmak; |−x| = |x|'tir ve negatif değildir.
- |x·y| = |x|·|y| ve y ≠ 0 için |x/y| = |x|/|y|.
- |x|² = x² ve |a − b| = |b − a|.
- |x + y| ≤ |x| + |y|; eşitlik x ile y aynı işaretliyse sağlanır.