Konu anlatımı
Mutlak değerli eşitsizlikler uzaklığa bir sınır koyar: “0'a uzaklığı 3'ten az” ya da “0'a uzaklığı en az 3” gibi. Bu alt başlıkta programdaki üç temel kalıbı, bunların aralık karşılıklarını ve tam sayı çözümlerini saymayı öğreneceksin.
|A| ≤ c: tek aralık
c pozitif olmak üzere |A| ≤ c, A'nın 0'a uzaklığının en çok c olduğunu söyler; bu da −c ≤ A ≤ c demektir. Kesin eşitsizlikte (|A| < c) uçlar dahil olmaz. |2x − 1| ≤ 5 için −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 yazılır; 1 eklenince −4 ≤ 2x ≤ 6, 2'ye bölününce −2 ≤ x ≤ 3 bulunur.
c negatifse |A| ≤ c eşitsizliğinin çözümü yoktur; c = 0 ise yalnızca A = 0 çözümdür.
|A| ≥ c: iki parça
c pozitif olmak üzere |A| ≥ c, A'nın 0'a uzaklığının en az c olduğunu söyler; A ya c'nin sağında ya da −c'nin solundadır: A ≥ c veya A ≤ −c. |x + 2| > 3 için x + 2 > 3 veya x + 2 < −3, yani x > 1 veya x < −5 bulunur. Çözüm kümesi (−∞, −5) ∪ (1, ∞)'dur.
c negatifse |A| ≥ c her x için doğrudur, çünkü mutlak değer negatif bir sayıdan her zaman büyüktür; çözüm kümesi R'dir.
a ≤ |A| ≤ b: iki aralık
0 ≤ a ≤ b ise a ≤ |A| ≤ b koşulu, A'nın 0'a uzaklığının a ile b arasında olduğunu söyler. A pozitif tarafta a ≤ A ≤ b, negatif tarafta −b ≤ A ≤ −a aralığındadır. 2 ≤ |x − 1| < 5 için 2 ≤ x − 1 < 5 veya −5 < x − 1 ≤ −2 yazılır; 1 eklenince 3 ≤ x < 6 veya −4 < x ≤ −1 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. |3 − 2x| ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Tek aralığa çeviririz: −7 ≤ 3 − 2x ≤ 7. Üç taraftan 3 çıkarırız: −10 ≤ −2x ≤ 4. −2'ye bölünce iki yön de değişir: 5 ≥ x ≥ −2, yani −2 ≤ x ≤ 5. Bu aralıkta 5 − (−2) + 1 = 8 tam sayı vardır.
Örnek 2. 1 < |x + 2| ≤ 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. İki aralığa ayırırız. Pozitif tarafta 1 < x + 2 ≤ 4, yani −1 < x ≤ 2 ve tam sayılar 0, 1, 2'dir. Negatif tarafta −4 ≤ x + 2 < −1, yani −6 ≤ x < −3 ve tam sayılar −6, −5, −4'tür. Toplam 0 + 1 + 2 − 6 − 5 − 4 = −12'dir.
Sık yapılan hatalar
- |A| ≥ c eşitsizliğini −c ≤ A ≤ c diye tek aralık yazmak.
- a ≤ |A| ≤ b kalıbında negatif taraftaki aralığı unutmak.
- Negatif bir sayıya bölerken iki taraflı eşitsizliğin yönlerini çevirmemek.
- c pozitifse |A| ≤ c ⇔ −c ≤ A ≤ c.
- c pozitifse |A| ≥ c ⇔ A ≥ c veya A ≤ −c.
- a ≤ |A| ≤ b ⇔ a ≤ A ≤ b veya −b ≤ A ≤ −a.