Konu anlatımı
Sayı makinesi soruları, bir kuralın art arda uygulanmasıyla ilgilidir. Bu alt başlıkta kuralı ileri doğru uygulamayı, çıktıdan geriye doğru giderek olası girdileri bulmayı, tekrar eden çıktıları ve belirli bir sonuca ulaşmak için gereken işlem sayısını göreceksin.
İleri doğru hesap
Makineye girilen sayıya kural uygulanır ve çıktı yeniden makineye girilir. Kural “sayı çiftse yarısını, tekse 3 katının 1 fazlasını ver” ise 6 girildiğinde çıktılar sırasıyla 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2 ve 1 olur. Her adımı tek tek yazmak, adım sayısını karıştırmamanın en güvenli yoludur. Birinci çıktı makineden ilk kez çıkan sayıdır; girilen sayı çıktı sayılmaz.
Çıktılar bir noktadan sonra tekrar etmeye başlayabilir. Böyle bir döngü bulunduğunda döngünün uzunluğu belirlenir; çok ileriki bir çıktı, sıra numarasının döngü uzunluğuna bölümünden kalanla bulunur.
Geriye doğru gitmek
Çıktıdan girdiye gitmek için kural tersinden düşünülür ve her olasılık ayrı yazılır. Aynı kuralda bir çıktıyı veren girdiler şöyle bulunur: girdi çiftse çıktının 2 katıdır; girdi tekse çıktının 1 eksiğinin 3'e bölümüdür ve bu bölüm tek bir tam sayı olmalıdır. Çıktı 16 ise girdi 32 olabilir; (16 − 1)/3 = 5 de tek olduğu için girdi 5 de olabilir. Çıktı 10 ise girdi 20 ya da 3 olabilir.
Böylece geriye doğru dallanan bir ağaç oluşur ve dalların her biri ayrı ayrı izlenir. Bir dalda kuralın koşulu sağlanmıyorsa, örneğin bölüm tam sayı değilse ya da beklenen tek-çift türünde değilse, o dal kapanır.
İşlem sayısı
“1'e ulaşmak için kaç işlem gerekir?” gibi sorularda kural sayıya uygulanır ve adımlar sayılır. Seçenekler arasından en çok ya da en az işlem gerektireni bulmak için her seçenek ayrı denenir. Kural “çiftse yarısı, tekse 1 eksiği” ise 2'nin kuvvetleri hızla 1'e iner: 32 için 5 işlem yeter. Tek sayılar fazladan işlem ister: 31 için 8 işlem gerekir. Büyük sayının her zaman daha çok işlem gerektirmediğine dikkat et.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir sayı makinesi, girilen pozitif tam sayı çiftse yarısını, tekse 3 katının 1 fazlasını çıktı olarak veriyor; her çıktı yeniden makineye giriliyor. Üçüncü çıktı 4 olduğuna göre makineye ilk girilen sayı hangi değerleri alabilir?
Çözüm. Geriye doğru gideriz. 4'ü veren girdi 8 ya da 1'dir, çünkü 8'in yarısı 4 ve 3·1 + 1 = 4'tür. 8'i veren girdi yalnızca 16'dır; (8 − 1)/3 tam sayı değildir. 1'i veren girdi 2'dir; (1 − 1)/3 = 0 pozitif değildir. 16'yı veren girdiler 32 ve 5'tir; 2'yi veren girdi 4'tür. İlk sayı 32, 5 ya da 4 olabilir. Kontrol: 5 → 16 → 8 → 4 ve 4 → 2 → 1 → 4.
Örnek 2. Bir sayı makinesi, girilen sayı çiftse yarısını, tekse 1 fazlasını veriyor; çıktı 1 olduğunda işlem duruyor. 21, 24, 27 ve 32 sayılarından hangisi girilirse 1'e ulaşmak için en çok işlem yapılır?
Çözüm. Her sayıyı ayrı izleriz. 21 → 22 → 11 → 12 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1: 8 işlem. 24 → 12 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1: 6 işlem. 27 → 28 → 14 → 7 → 8 → 4 → 2 → 1: 7 işlem. 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1: 5 işlem. En çok işlem 21 girildiğinde yapılır; en büyük sayı olan 32 en az işlemi gerektirir.
Sık yapılan hatalar
- Girilen sayıyı birinci çıktı saymak.
- Geriye doğru giderken iki olasılıktan yalnızca birini izlemek.
- Tek-çift koşulunu kontrol etmeden (çıktı − 1)/3 değerini girdi kabul etmek.
- İleri giderken her adımı yaz ve say.
- Geriye giderken her çıktı için bütün olası girdileri listele ve kuralın koşulunu kontrol et.
- Döngüye giren makinelerde döngü uzunluğunu bul ve sıra numarasını bu uzunluğa böl.