Konu anlatımı
Birçok günlük durumda bir nicelik başka bir niceliğe bağlı olarak düzenli biçimde artar ya da azalır: Taksi ücreti gidilen yolla, bir aracın deposundaki yakıt alınan yolla, yanan bir mumun boyu geçen süreyle değişir. Değişim sabit hızla oluyorsa ilişki y = ax + b biçiminde doğrusal bir fonksiyonla anlatılır ve grafiği bir doğrudur. Bu alt başlıkta böyle grafikleri okumayı ve yorumlamayı öğreneceksin.
Başlangıç değeri ve eğim
y = ax + b doğrusunda b, x = 0 iken y'nin değeridir ve doğrunun dikey ekseni kestiği noktayı gösterir; gerçek hayatta sabit ücret ya da başlangıç miktarıdır. a ise x bir birim artınca y'nin ne kadar değiştiğini gösterir; birim fiyat ya da birim zamandaki değişimdir. Açılış ücreti 40 TL, kilometre başına ücreti 15 TL olan bir taksinin ücreti y = 15x + 40 ile verilir; 10 km'lik bir yolculuk 190 TL tutar.
Grafikten denklem kurmak
Grafik üzerindeki iki nokta biliniyorsa eğim, y değerlerindeki değişimin x değerlerindeki değişime bölünmesiyle bulunur. Yakıldıktan 2 saat sonra 26 cm, 5 saat sonra 20 cm olan bir mum 3 saatte 6 cm, yani saatte 2 cm kısalmıştır; eğim −2'dir. Başlangıç boyu 26 + 2·2 = 30 cm olduğundan ilişki y = −2x + 30 olur. Mum 30 ÷ 2 = 15 saatte biter; grafik yatay ekseni (15, 0) noktasında keser.
İki doğrunun kesişimi
İki doğrusal tarife aynı grafikte gösterildiğinde doğruların kesiştiği nokta, iki tutarın eşit olduğu durumu gösterir. Kesişim noktasının bir yanında bir doğru, öbür yanında diğer doğru daha yüksektir. Bu yüzden “hangi durumda hangi tarife daha ucuzdur” sorusu, önce kesişim noktası bulunarak cevaplanır. Eğimi büyük olan doğru, kesişimden sonra öbürünün üstüne çıkar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir spor salonunun A paketinde aylık üyelik ücreti 600 TL ve her giriş 20 TL, B paketinde üyelik ücreti yok ve her giriş 50 TL'dir. İki paketin aylık tutarlarını gösteren doğrular kaç girişte kesişir? Ayda 25 kez giden biri hangi paketi seçmelidir?
Çözüm. x girişte A paketi 600 + 20x, B paketi 50x TL tutar. 600 + 20x = 50x'ten x = 20 bulunur; doğrular 20 girişte kesişir. 25 girişte A paketi 600 + 500 = 1100 TL, B paketi 1250 TL tutar. Kesişimden sonra eğimi büyük olan B daha pahalıdır; A seçilmelidir.
Örnek 2. Bir aracın deposunda yola çıkarken 50 litre yakıt vardır ve araç her 100 km'de 8 litre yakıt harcıyor. Depodaki yakıtı gidilen yola göre veren doğrunun denklemi nedir? Depoda 10 litre yakıt kaldığında araç kaç km yol almıştır?
Çözüm. Araç her kilometrede 8/100 = 0,08 litre harcar; yakıt azaldığı için eğim −0,08'dir. Başlangıç miktarı 50 litre olduğundan denklem y = 50 − 0,08x'tir. y = 10 için 0,08x = 40 ve x = 500 km bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Sabit ücreti hesaba katmayıp tutarı birim fiyatla doğru orantılı sanmak.
- Eğimi bulurken y'deki değişimi x'teki değişime değil, x'in kendisine bölmek.
- Azalan durumlarda eğimin negatif olduğunu unutmak.
- y = ax + b: b başlangıç değeri, a birim değişim.
- Eğim = y'deki değişim ÷ x'teki değişim.
- Kesişim noktasında iki nicelik eşittir; iki yanında sıralama değişir.