Konu anlatımı
Bir daireyi iki yarıçapla kestiğinde oluşan dilim, merkez açısı oranında dairenin bir parçasıdır. Bu alt başlıkta yay uzunluğunu, daire diliminin alanını ve bir kirişle ayrılan daire parçasının alanını bulmayı göreceksin.
Yay uzunluğu
Merkez açısı α olan yay, çemberin α/360° kadarıdır; uzunluğu 2πr·α/360° olur. Yarıçapı 9 cm olan çemberde merkez açısı 80° olan yayın uzunluğu 2π·9·80/360 = 4π cm'dir. Yay bir çevre açıyla verilmişse önce yayın ölçüsüne geçilir: 30°'lik çevre açının gördüğü yay 60°'dir.
Daire dilimi
İki yarıçap ve aralarındaki yayla sınırlı bölgeye daire dilimi denir. Merkez açısı α olan dilimin alanı πr²·α/360°'dir. Bu alan, yay uzunluğu ℓ ile yarıçapın çarpımının yarısına da eşittir: ℓ·r/2. Dilimin çevresi, yay uzunluğu ile iki yarıçapın toplamıdır: ℓ + 2r.
Daire parçası
Bir kiriş ile gördüğü yay arasında kalan bölgeye daire parçası denir. Küçük yayla sınırlı daire parçasının alanı, aynı merkez açılı daire diliminin alanından, kiriş ile iki yarıçapın oluşturduğu üçgenin alanı çıkarılarak bulunur. Bu üçgenin alanı için ½·r·r·sin α bağıntısı kullanılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 6 cm ve merkez açısı 120° olan daire diliminin alanı, yay uzunluğu ve çevresi kaçtır?
Çözüm. Dilim, dairenin 120/360 = 1/3'üdür. Alan π·36/3 = 12π cm², yay uzunluğu 2π·6/3 = 4π cm'dir. Çevre yay ile iki yarıçapın toplamıdır: 4π + 12 cm. Kontrol: ℓ·r/2 = 4π·6/2 = 12π.
Örnek 2. Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde merkez açısı 60° olan küçük yayla sınırlı daire parçasının alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Merkez açısı 60° olan dilimin alanı π·36/6 = 6π cm²'dir. İki yarıçap ve kirişin oluşturduğu üçgen, iki kenarı 6 cm ve aradaki açısı 60° olan eşkenar üçgendir; alanı 36√3/4 = 9√3 cm²'dir. Daire parçasının alanı 6π − 9√3 cm²'dir; bu yaklaşık 3,26 cm² eder.
Örnek 3. O merkezli, yarıçapı 10 cm olan çemberde A, B ve C noktaları çember üzerindedir; C, AB büyük yayı üzerindedir ve m(ACB) = 36°'dir. AOB küçük daire diliminin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ACB çevre açısı AB küçük yayını görür ve 36° olduğu için bu yay 72°'dir. AOB diliminin merkez açısı 72° olduğundan alanı π·100·72/360 = 20π cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Çevre açıyla verilen yayı, yayın ölçüsüne çevirmeden kullanmak.
- Dilimin çevresinde iki yarıçapı eklemeyi unutmak.
- Daire parçasının alanını dilimin alanına eşit sanmak; üçgenin alanı çıkarılmalıdır.
- Yay uzunluğu 2πr·α/360°, dilim alanı πr²·α/360° = ℓ·r/2 olur.
- Dilimin çevresi ℓ + 2r'dir.
- Daire parçası = dilim − üçgen.