Konu anlatımı
Teğet, çembere tek bir noktada değen doğrudur ve iki temel özelliği vardır: değme noktasındaki yarıçapa diktir ve bir dış noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir. Bu alt başlıkta bu özellikleri ve kenarları bir çembere teğet olan dörtgenleri göreceksin.
Teğet ve yarıçap
Çembere A noktasında değen teğet, [OA] yarıçapına diktir. Bu yüzden teğet üzerindeki bir P noktası, değme noktası A ve merkez O bir dik üçgen oluşturur: |PA|² + r² = |PO|². Tersine, merkezin bir doğruya uzaklığı yarıçapa eşitse o doğru çembere teğettir.
Eşit teğet parçaları
Çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki teğet çembere A ve B noktalarında değsin. OAP ve OBP dik üçgenlerinde hipotenüs [OP] ortak ve |OA| = |OB| olduğundan üçgenler eştir; bu yüzden |PA| = |PB| olur. Ayrıca [PO], APB ve AOB açılarının açıortayıdır ve [AB] kirişini dik ortalar.
Teğetler dörtgeni
Dört kenarı da bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Her köşeden çizilen iki teğet parçası eşit olduğu için karşılıklı kenarların toplamları eşittir: |AB| + |CD| = |BC| + |DA|. Örneğin bir teğetler dörtgeninin üç kenarı 7, 9 ve 12 cm ise ve 7 ile 12 cm'lik kenarlar karşılıklıysa, dördüncü kenar 7 + 12 − 9 = 10 cm'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. O merkezli, yarıçapı 5 cm olan çembere dışındaki bir P noktasından çizilen teğetler çembere A ve B noktalarında değiyor. |PA| = 12 cm olduğuna göre |PO| ve PAOB dörtgeninin alanı kaçtır?
Çözüm. OAP üçgeni A'da dik açılıdır: |PO| = √(12² + 5²) = 13 cm. Dış noktadan çizilen teğet parçaları eşit olduğu için |PB| = 12 cm'dir. PAOB dörtgeni eş iki dik üçgenden oluştuğu için alanı 2·(12·5/2) = 60 cm²'dir.
Örnek 2. ABC üçgeninin kenarlarına teğet olan bir çember [AB], [BC] ve [AC] kenarlarına sırasıyla D, E ve F noktalarında değiyor. |AB| = 8 cm, |BC| = 10 cm ve |AC| = 12 cm olduğuna göre |AD|, |BE| ve |CF| kaçtır?
Çözüm. Her köşeden çizilen teğet parçaları eşittir: |AD| = |AF| = x, |BD| = |BE| = y ve |CE| = |CF| = z olsun. x + y = 8, y + z = 10 ve x + z = 12 eşitlikleri toplanınca 2·(x + y + z) = 30, yani x + y + z = 15 bulunur. Buradan x = 5, y = 3 ve z = 7 olur; |AD| = 5 cm, |BE| = 3 cm ve |CF| = 7 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- Teğetin yarıçapa dik olduğunu kullanmadan uzunluk hesaplamaya çalışmak.
- Teğet parçasını dış noktanın merkeze uzaklığıyla karıştırmak.
- Teğetler dörtgeninde komşu kenarların toplamlarını eşitlemek; eşit olan karşılıklı kenarların toplamlarıdır.
- Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir: |PA|² + r² = |PO|².
- Dış noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir.
- Teğetler dörtgeninde |AB| + |CD| = |BC| + |DA|.