Konu anlatımı
Bir üçgenin alanı, kapladığı düzlem bölgesinin büyüklüğüdür; ABC üçgeninin alanı A(ABC) ile gösterilir ve bu gösterimde baştaki A harfi alan anlamındadır. Alan birimleri uzunluk birimlerinin karesidir: cm², m² gibi. Üçgende alan hem doğrudan hesap sorularında hem de bir uzunluğu ya da oranı bulmak için kullanılan güçlü bir araçtır.
Bu sayfada taban ve yükseklikle alanı, iki kenar ve aradaki açıyla alanı, ortak yükseklik ya da ortak taban kullanan oranları, kenarortay ve ağırlık merkeziyle oluşan alanları, benzer üçgenlerin alan oranını ve bölünmüş üçgenlerde alan problemlerini göreceksin. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.
Taban ve yükseklik
Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: A'dan [BC] kenarına inen yükseklik [AH] ise A(ABC) = |BC|·|AH|/2 olur. Her kenar taban seçilebildiği için bir kenar ile ona ait yüksekliğin çarpımı, hangi kenar seçilirse seçilsin aynıdır. Dik üçgende alan dik kenarların çarpımının yarısıdır; geniş açılı üçgende bazı yükseklikler tabanın uzantısına iner.
İki kenar ve aradaki açı
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgenin alanı A(ABC) = ½·|AB|·|AC|·sin A bağıntısıyla bulunur; çünkü C'den AB doğrusuna inen yükseklik |AC|·sin A'dır. Kenarları 6 ve 8, aradaki açı 30° olan üçgenin alanı ½·6·8·½ = 12'dir. Açı geniş ise sin(180° − x) = sin x eşitliği kullanılır. İki kenarı sabit üçgenler arasında en büyük alan, aradaki açı 90° olduğunda elde edilir.
Ortak yükseklik, ortak taban
Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır: D noktası [BC] üzerindeyse A(ABD)/A(ADC) = |BD|/|DC| olur. Tabanları ortak olan üçgenlerin alanları da yükseklikleriyle orantılıdır. Tabanı ortak ve tepesi tabana paralel bir doğru üzerinde olan bütün üçgenlerin alanları eşittir.
Kenarortay ve ağırlık merkezi
Kenarortay üçgeni alanları eşit iki parçaya böler. Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene, ağırlık merkezini köşelere birleştiren doğru parçaları da alanları eşit üç üçgene ayırır. Bu yüzden ağırlık merkeziyle kurulan birçok bölgenin alanı, küçük eş üçgenleri sayarak bulunur.
Benzer üçgenlerin alanları
Benzerlik oranı k olan iki üçgenin alanları oranı k²'dir. Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru öbür kenarları 1 : 2 oranında bölüyorsa tepede kalan küçük üçgenin benzerlik oranı 1/3, alanı ise büyük üçgenin alanının 1/9'udur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |BC| = 10 cm, A'dan [BC] kenarına inen yükseklik 6 cm ve |AB| = 8 cm'dir. C'den AB doğrusuna inen yükseklik kaç santimetredir?
Çözüm. Alanı [BC] tabanıyla yazarız: A(ABC) = 10·6/2 = 30 cm². Aynı alanı [AB] tabanıyla yazınca 8·h/2 = 30 olur. Buradan h = 60/8 = 7,5 cm bulunur.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 10 cm ve m(A) = 150°'dir. A(ABC) kaç cm²'dir?
Çözüm. İki kenar ve aradaki açı bilindiği için A(ABC) = ½·8·10·sin 150° yazarız. sin 150° = sin 30° = 1/2 olduğundan alan ½·8·10·½ = 20 cm²'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerindedir; |BD| = 4 cm ve |DC| = 6 cm'dir. A(ABC) = 50 cm² olduğuna göre A(ABD) kaç cm²'dir?
Çözüm. ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan BC doğrusuna inen yükseklikleri ortaktır; bu yüzden alanları tabanlarıyla orantılıdır: 4 : 6 = 2 : 3. Toplam 5 parça 50 cm² olduğundan bir parça 10 cm²'dir. A(ABD) = 2·10 = 20 cm²'dir.
Örnek 4. ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve DE ∥ BC'dir. |AD| = 2 cm, |DB| = 3 cm ve A(ADE) = 8 cm²'dir. DBCE dörtgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. DE ∥ BC olduğundan ADE ∼ ABC ve benzerlik oranı |AD|/|AB| = 2/5'tir. Alanların oranı 4/25 olduğundan A(ABC) = 8·25/4 = 50 cm² bulunur. DBCE dörtgeninin alanı 50 − 8 = 42 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Alanı taban ile yüksekliğin çarpımı olarak yazıp ikiye bölmeyi unutmak.
- Yüksekliği tabana dik olmayan bir kenarla karıştırmak.
- ½·b·c·sin A bağıntısında verilen açının iki kenarın arasında olup olmadığına bakmamak.
- Benzer üçgenlerde alan oranını benzerlik oranına eşit almak; doğrusu karesidir.
- Ortak yükseklik kuralını, tabanları aynı doğru üzerinde olmayan üçgenlere uygulamak.
- Alan = taban·yükseklik/2; her kenar taban olabilir.
- Alan = ½·b·c·sin A; iki kenar sabitken aradaki açı 90° iken en büyüktür.
- Ortak yükseklikte alanlar tabanlarla, ortak tabanda yüksekliklerle orantılıdır.
- Kenarortay alanı ikiye, üç kenarortay altı eş parçaya böler.
- Benzerlik oranı k ise alanların oranı k²'dir.