Konu anlatımı
Benzer iki üçgende uzunluklar k oranında büyür ya da küçülürken alanlar k² oranında değişir. Bu alt başlıkta bu kuralın nedenini ve bir kenara paralel doğruların ya da yamuk köşegenlerinin oluşturduğu bölgelerin alanlarını bulmayı göreceksin.
Alan oranı k²
ABC ∼ DEF ve benzerlik oranı k ise karşılıklı tabanlar da yükseklikler de k oranındadır. Alan taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı olduğundan alanların oranı k·k = k² olur. Kenarları iki katına çıkan bir üçgenin alanı dört katına, üç katına çıkanınki dokuz katına çıkar.
Paralel doğru ve yamuk
ABC üçgeninde DE ∥ BC ve |AD|/|AB| = k ise ADE üçgeninin alanı ABC üçgeninin alanının k² katıdır; kalan DBCE yamuğunun alanı ise (1 − k²) katıdır. |AD| : |DB| = 1 : 2 ise k = 1/3'tür; küçük üçgen alanın 1/9'unu, yamuk 8/9'unu kaplar.
Dik üçgende yükseklik
m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yükseklik olsun. ABH ve CAH üçgenleri benzerdir ve hipotenüslerinin oranı |AB|/|AC| olduğundan alanlarının oranı |AB|²/|AC|²'dir. Aynı oran, ortak yükseklik [AH] kullanılarak |BH|/|HC| biçiminde de bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve DE ∥ BC'dir. |AD| = 3 cm, |DB| = 1 cm ve ADE üçgeninin alanı 18 cm²'dir. DBCE dörtgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. DE ∥ BC olduğundan ADE ∼ ABC ve benzerlik oranı |AD|/|AB| = 3/4'tür. Alanların oranı 9/16 olduğundan ABC üçgeninin alanı 18·16/9 = 32 cm²'dir. DBCE dörtgeninin alanı 32 − 18 = 14 cm²'dir.
Örnek 2. Benzer iki üçgenin çevreleri 24 cm ve 36 cm'dir. Küçük üçgenin alanı 20 cm² olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir: k = 36/24 = 3/2. Alanların oranı k² = 9/4 olduğundan büyük üçgenin alanı 20·9/4 = 45 cm²'dir.
Örnek 3. ABCD yamuğunda AB ∥ CD'dir ve köşegenler E noktasında kesişiyor. ABE üçgeninin alanı 18 cm², CDE üçgeninin alanı 8 cm²'dir. Yamuğun alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ABE ∼ CDE ve alanların oranı 18/8 = 9/4 olduğundan benzerlik oranı 3/2'dir; yani |AE|/|EC| = 3/2. ADE ve CDE üçgenlerinin D'den AC doğrusuna inen yükseklikleri ortak olduğundan ADE üçgeninin alanı 8·3/2 = 12 cm²'dir. Aynı yolla BCE üçgeninin alanı da 12 cm² bulunur. Yamuğun alanı 18 + 8 + 12 + 12 = 50 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Alan oranını benzerlik oranına eşit almak.
- Yamuğun alanını bulurken k² yerine 1 − k² kullanmayı unutmak.
- Benzerlik oranını |AD|/|DB| ile kurmak; doğrusu |AD|/|AB| oranıdır.
- Uzunluklar k oranındaysa alanlar k² oranındadır.
- DE ∥ BC ise yamuğun alanı büyük üçgenin alanının (1 − k²) katıdır.
- Yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları eşittir.