Konu anlatımı
Kenarortaylar ve ağırlık merkezi, üçgeni alanları eşit parçalara ayırır. Bu alt başlıkta bu parçaları tanımayı ve karmaşık görünen bölgelerin alanlarını küçük eş üçgenleri sayarak bulmayı göreceksin.
Kenarortay
[AD] kenarortay ise |BD| = |DC| olur ve ABD ile ADC üçgenlerinin A'dan inen yükseklikleri ortaktır; bu yüzden alanları eşittir. Bir üçgenin her kenarortayı alanı iki eş parçaya böler. Bu özellik, bir bölgenin alanını yarıya bölmek gerektiğinde en kısa yoldur.
Altı eş üçgen
Üç kenarortay G ağırlık merkezinde kesişir ve üçgeni altı küçük üçgene ayırır. G kenarortayları 2 : 1 böldüğü için bu altı üçgenin alanları eşittir; her biri üçgenin alanının altıda biridir. G'yi köşelere birleştiren doğru parçaları ise üçgeni alanları eşit üç üçgene ayırır: A(GAB) = A(GBC) = A(GCA).
Orta noktalarla oluşan bölgeler
Kenarların orta noktaları birleştirilince oluşan üçgen, büyük üçgenin alanının dörtte biridir ve köşelerde kalan üç üçgenle eştir. Bir köşe, bu köşeye komşu iki kenarın orta noktaları ve G ile oluşan dörtgen, altı küçük üçgenden ikisini içerdiği için üçgenin alanının üçte biridir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninin alanı 72 cm²'dir. G ağırlık merkezi, D noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. ABG ve GDC üçgenlerinin alanları kaçtır?
Çözüm. G'yi köşelere birleştiren doğru parçaları üçgeni üç eş alana ayırır: ABG üçgeninin alanı 72/3 = 24 cm²'dir. Üç kenarortayın oluşturduğu altı küçük üçgenin her birinin alanı 72/6 = 12 cm²'dir ve GDC bunlardan biridir: 12 cm².
Örnek 2. ABC üçgeninde [BE] ve [CF] kenarortayları G noktasında kesişiyor. AFGE dörtgeninin alanı 20 cm² olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Üçüncü kenarortay A'dan G'ye geçecek biçimde çizilirse AFGE dörtgeni AFG ve AGE üçgenlerine ayrılır. Bu iki üçgen, kenarortayların oluşturduğu altı eş üçgenden ikisidir; dörtgenin alanı ABC üçgeninin alanının üçte biridir. ABC üçgeninin alanı 3·20 = 60 cm²'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninin alanı 54 cm² ve G ağırlık merkezidir. G'den geçen ve [BC] kenarına paralel olan doğru [AB] kenarını K, [AC] kenarını L noktasında kesiyor. AKL üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. A'dan çizilen kenarortay [AD] olsun; G bu kenarortay üzerindedir ve |AG| = 2·|AD|/3'tür. KL ∥ BC olduğundan AKL ∼ ABC'dir ve A'dan bu iki kenara olan uzaklıkların oranı |AG|/|AD| = 2/3'tür; benzerlik oranı da 2/3 olur. Alanların oranı 4/9 olduğundan AKL üçgeninin alanı 54·4/9 = 24 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Altı küçük üçgenin alanlarının yalnızca özel üçgenlerde eşit olduğunu sanmak; her üçgende eşittir.
- G'yi köşelere birleştiren üçgenleri altı küçük üçgenden biriyle karıştırmak; her biri iki küçük üçgenden oluşur.
- G'den geçen paralelin oluşturduğu üçgende benzerlik oranını 1/3 sanmak; tepe A'dan bakıldığında oran 2/3'tür.
- Kenarortay alanı ikiye böler.
- Üç kenarortay altı eş alanlı üçgen, G'yi köşelere birleştiren doğru parçaları üç eş alan oluşturur.
- G'den kenara paralel çizilen doğru tepedeki üçgeni 2/3 oranında küçültür; alan 4/9 olur.