Konu anlatımı
Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir; dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, öbür iki kenara dik kenar denir. Dik üçgenler merdiven, rampa, çatı ve gözlem kulesi gibi günlük durumlarda sürekli karşına çıkar. Pisagor teoremi kenarlar arasındaki ilişkiyi, trigonometrik oranlar ise kenarlarla açılar arasındaki ilişkiyi verir.
Bu sayfada Pisagor teoremini ve Pisagor üçlülerini, 30°-60°-90° ve 45°-45°-90° üçgenlerini, Öklid bağıntılarını, dar açıların trigonometrik oranlarını, birim çemberi ve yükseklik-uzaklık problemlerini göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Pisagor teoremi
m(A) = 90° olan ABC dik üçgeninde a² = b² + c² olur; yani hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir. Kenarları tam sayı olan dik üçgenlerin en bilinenleri 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ve 7-24-25 üçlüleri ile bunların katlarıdır. Dik kenarları 9 ve 12 olan üçgenin hipotenüsü 15'tir.
Özel dik üçgenler
Açıları 30°, 60° ve 90° olan üçgende kenarlar 1 : √3 : 2 oranındadır; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır. Açıları 45°, 45° ve 90° olan ikizkenar dik üçgende kenarlar 1 : 1 : √2 oranındadır. Bu iki üçgen, eşkenar üçgenin ve karenin yarısı olarak düşünülebilir.
Öklid bağıntıları
m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yükseklik ise |AH|² = |BH|·|HC|, |AB|² = |BH|·|BC| ve |AC|² = |CH|·|CB| olur. Alan iki yoldan yazılarak |AH|·|BC| = |AB|·|AC| eşitliği de bulunur. Bu bağıntılar, yüksekliğin oluşturduğu benzer dik üçgenlerden gelir.
Trigonometrik oranlar
Dik üçgende bir dar açı x için sin x = karşı dik kenar/hipotenüs, cos x = komşu dik kenar/hipotenüs, tan x = karşı dik kenar/komşu dik kenar ve cot x = komşu dik kenar/karşı dik kenar olarak tanımlanır. Bu oranlar üçgenin büyüklüğüne değil yalnızca açıya bağlıdır. sin² x + cos² x = 1, tan x = sin x/cos x, tan x·cot x = 1 ve sin x = cos(90° − x) eşitlikleri her dar açı için geçerlidir.
Birim çember
Merkezi başlangıç noktası, yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir. x ekseninin pozitif yönüyle x açısı yapan yarıçapın çember üzerindeki ucu (cos x, sin x) noktasıdır. Bu tanım 0° ile 180° arasındaki bütün açılar için kullanılır: sin 120° = √3/2 ve cos 120° = −1/2 olur. Genel olarak sin(180° − x) = sin x ve cos(180° − x) = −cos x'tir.
Yükseklik ve uzaklık problemleri
Bir kulenin yüksekliği, bir merdivenin duvara dayandığı yükseklik ya da bir uçurtmanın yerden yüksekliği bir dik üçgen kurularak bulunur. Gözlemcinin yatay doğrultusu ile cisme bakış doğrultusu arasındaki açıya yükselme açısı denir. İki farklı noktadan yapılan gözlemlerde iki dik üçgen, ortak yükseklik üzerinden birbirine bağlanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 13 m uzunluğundaki bir merdiven, alt ucu duvardan 5 m uzakta olacak biçimde dik bir duvara dayanmıştır. Merdivenin üst ucu yerden kaç metre yüksektedir?
Çözüm. Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur; merdiven hipotenüstür. Pisagor teoremiyle yükseklik √(13² − 5²) = √144 = 12 m bulunur. 5-12-13 üçlüsünü tanırsan karekök almadan da sonuca ulaşırsın.
Örnek 2. ABC üçgeninde m(A) = 90°, m(C) = 60° ve |AC| = 5 cm'dir. |BC| ve |AB| kaçtır?
Çözüm. m(B) = 30°'dir ve 30°'nin karşısındaki kenar [AC] olduğundan bu kenar hipotenüsün yarısıdır: |BC| = 10 cm. 60°'nin karşısındaki [AB] kenarı en kısa kenarın √3 katıdır: |AB| = 5√3 cm. Kontrol: 25 + 75 = 100 = 10².
Örnek 3. x dar açı ve cos x = 5/13 olduğuna göre sin x ve tan x kaçtır?
Çözüm. Komşu dik kenarı 5k, hipotenüsü 13k olan bir dik üçgen çizeriz. Karşı dik kenar √(169k² − 25k²) = 12k olur. sin x = 12/13 ve tan x = 12/5 bulunur. Kontrol: (5/13)² + (12/13)² = 1.
Örnek 4. A, B ve C noktaları bir doğru üzerinde bu sırayla yer alıyor; C bir kulenin dibidir ve |AB| = 20 m'dir. Kulenin tepesi A'dan 30°'lik, B'den 60°'lik yükselme açısıyla görünüyor. Kulenin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm. Kulenin tepesi T olsun. ATB üçgeninde B'deki dış açı 60° olduğundan m(ATB) = 60° − 30° = 30° olur. A ve T'deki açılar eşit olduğundan |BT| = |AB| = 20 m'dir. TBC dik üçgeninde yükseklik |TC| = 20·sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Pisagor teoremini kurarken hipotenüsü yanlış belirlemek; hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır.
- 30°-60°-90° üçgeninde √3 çarpanını yanlış kenara koymak; √3 katı olan kenar 60°'nin karşısındadır.
- Sinüs ile kosinüsü karıştırmak: sinüs karşı dik kenarı, kosinüs komşu dik kenarı kullanır.
- Trigonometrik oranları hipotenüs yerine başka bir kenara bölerek hesaplamak.
- Geniş açıların kosinüs ve tanjant değerlerinin negatif olduğunu unutmak.
- a² = b² + c²; 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 üçlülerini ve katlarını tanı.
- 30°-60°-90°: 1 : √3 : 2; 45°-45°-90°: 1 : 1 : √2.
- |AH|² = |BH|·|HC| ve |AB|² = |BH|·|BC|.
- sin = karşı/hipotenüs, cos = komşu/hipotenüs, tan = karşı/komşu.
- Birim çemberde nokta (cos x, sin x); sin(180° − x) = sin x, cos(180° − x) = −cos x.