Üçgende Eşlik ve Benzerlik konu anlatımı

Konu anlatımı

Aynı biçimde ve aynı büyüklükte olan üçgenlere eş, aynı biçimde fakat farklı büyüklükte olabilen üçgenlere benzer üçgenler denir. Bir haritadaki üçgen ile arazideki üçgen ya da bir fotoğraftaki bina ile gerçek bina benzerliğin günlük örnekleridir. Benzerlik, ölçemediğin uzunlukları ölçebildiğin uzunluklarla orantı kurarak bulmanı sağlar.

Bu sayfada eşlik ve benzerlik kurallarını, benzerlik oranını, bir kenara paralel doğrunun oluşturduğu orantıları ve Thales teoremini, dik üçgende ve yamukta benzerliği, üçgene yerleştirilen kareyi ve gölge, ayna ve dolaylı ölçme problemlerini göreceksin. Eşliği ≅, benzerliği ∼ işaretiyle gösteriyoruz. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.

Eşlik kuralları

Karşılıklı kenarları ve açıları eş olan üçgenlere eş üçgenler denir ve ABC ≅ DEF biçiminde yazılır; harflerin sırası hangi köşenin hangisine karşılık geldiğini gösterir. Eşliği göstermek için altı eşitliğin hepsi gerekmez; K.A.K. (iki kenar ve aralarındaki açı), A.K.A. (iki açı ve aralarındaki kenar) ya da K.K.K. (üç kenar) kurallarından biri yeterlidir. Eş üçgenlerin karşılıklı yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları da eştir.

Benzerlik kuralları ve benzerlik oranı

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir: ABC ∼ DEF ise |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |AC|/|DF| = k olur. Benzerlik için A.A. (iki açının eşliği), K.A.K. (iki kenar orantılı ve aralarındaki açı eş) ya da K.K.K. (üç kenar orantılı) kurallarından biri yeterlidir. Benzer üçgenlerde yükseklik, kenarortay, açıortay ve çevre de aynı k oranındadır; alanların oranı ise k²'dir.

Paralel doğru ve Thales

ABC üçgeninde [BC] kenarına paralel bir doğru [AB] kenarını D'de, [AC] kenarını E'de keserse ADE ∼ ABC olur ve |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC| yazılır. Bu oranlardan |AD|/|DB| = |AE|/|EC| da çıkar. Paralel doğrular kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır; bu sonuç Thales teoremi olarak bilinir.

Dik üçgende ve yamukta benzerlik

Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik, birbirine ve büyük üçgene benzer iki dik üçgen oluşturur; Öklid bağıntıları buradan gelir. Yamukta köşegenler kesişince tabanlara yaslanan iki üçgen benzerdir ve köşegenler tabanların oranında bölünür. Bir üçgenin tabanına oturan karenin üst kenarı da tabana paralel olduğundan tepede benzer bir üçgen oluşturur.

Gerçek hayatta benzerlik

Güneş ışınları birbirine paralel kabul edildiği için aynı anda ölçülen boy ile gölge uzunluğunun oranı her cisim için aynıdır. Yere konan bir aynada bir cismin tepesini gören kişinin gözü, ayna ve cisim, soruda verilen açı eşitliği nedeniyle iki benzer dik üçgen oluşturur. Bir nehrin genişliği ya da bir ağacın boyu gibi doğrudan ölçülemeyen uzunluklar bu yolla bulunur.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Eşlik ve benzerlikte köşeleri yanlış eşleştirmek; eş açıların karşısındaki kenarlar karşılıklı kenarlardır.
• Üç açının eşliğini eşlik kuralı sanmak; açıları eş üçgenler yalnızca benzerdir.
• Paralel doğru sorusunda |DE|/|BC| oranını |AD|/|DB| oranına eşitlemek; doğrusu |AD|/|AB| oranıdır.
• Benzer üçgenlerde alan oranını k sanmak; alanlar k² oranındadır.
• Gölge sorularında sokak lambası ile güneşi aynı sanmak; lambanın ışınları paralel değildir.