Konu anlatımı
Benzerlik sorularındaki asıl zorluk, benzer üçgenleri görmek ve köşelerini doğru eşleştirmektir. Bu alt başlıkta sık karşılaşılan üç yapıyı ve her birinde eşleşmeyi nasıl kuracağını göreceksin.
Ortak açılı iç içe üçgenler
ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerinde olsun ve ADE açısı ACB açısına eş olsun. ADE ve ACB üçgenlerinde A açısı ortaktır; A.A. kuralıyla ADE ∼ ACB olur. Burada D köşesi C'ye, E köşesi B'ye karşılık gelir: |AD|/|AC| = |AE|/|AB| = |DE|/|CB|. Bu yapıda [DE] kenarı [BC] kenarına paralel değildir; eşleşmeyi eş açılar belirler.
Kelebek yapısı
AB ∥ CD olmak üzere [AD] ve [BC] doğru parçaları E noktasında kesişsin. AEB ve DEC üçgenlerinde E'deki açılar ters açı, A ve D'deki açılar iç ters açı olduğundan AEB ∼ DEC olur. Buradan |AE|/|ED| = |BE|/|EC| = |AB|/|DC| yazılır; kesişim noktası iki doğru parçasını da paralel kenarların oranında böler.
Dik üçgende yükseklik
m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yükseklik olsun. ABH, CAH ve CBA üçgenlerinin her birinde bir dik açı vardır ve ikişer açıları ortaktır; bu yüzden üçü birbirine benzerdir. Bu benzerliklerden |AH|² = |BH|·|HC|, |AB|² = |BH|·|BC| ve |AC|² = |CH|·|CB| bağıntıları çıkar; bunlara Öklid bağıntıları denir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve ADE açısı ACB açısına eştir. |AD| = 4 cm, |AE| = 6 cm ve |AB| = 12 cm olduğuna göre |AC| kaç santimetredir?
Çözüm. ADE ve ACB üçgenlerinde A açısı ortak ve ADE açısı ACB açısına eş olduğundan A.A. kuralıyla ADE ∼ ACB'dir. Eşleşme A ile A, D ile C, E ile B biçimindedir: |AD|/|AC| = |AE|/|AB|. 4/|AC| = 6/12 eşitliğinden |AC| = 8 cm bulunur.
Örnek 2. AB ∥ CD olmak üzere [AD] ile [BC] doğru parçaları E noktasında kesişiyor. |AB| = 6 cm, |CD| = 9 cm ve |BC| = 20 cm olduğuna göre |BE| kaç santimetredir?
Çözüm. AEB ∼ DEC olduğundan |BE|/|EC| = |AB|/|DC| = 6/9 = 2/3'tür. |BE| = 2k, |EC| = 3k ve 5k = 20 olduğundan k = 4 bulunur. |BE| = 8 cm'dir.
Örnek 3. m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yüksekliktir. |BH| = 4 cm ve |HC| = 9 cm olduğuna göre |AH| ve |AB| kaçtır?
Çözüm. ABH ve CAH üçgenleri benzer olduğundan |AH|/|HC| = |BH|/|AH|, yani |AH|² = 4·9 = 36 ve |AH| = 6 cm'dir. ABH ile CBA üçgenlerinin benzerliğinden |AB|² = |BH|·|BC| = 4·13 = 52 ve |AB| = 2√13 cm bulunur. Kontrol: ABH dik üçgeninde 4² + 6² = 52.
Sık yapılan hatalar
- Ortak açılı yapıda [DE] kenarını [BC] kenarına paralel sanıp |AD|/|AB| oranını kullanmak.
- Kelebek yapısında parçaları çapraz eşleştirmek; |AE| parçası |ED| ile, |BE| parçası |EC| ile oranlanır.
- Benzer üçgenlerin köşelerini eş açılara göre değil, harf sırasına göre eşleştirmek.
- Köşeleri eş açılara göre eşleştir; harflerin sırasını buna göre yaz.
- Kelebek yapısında kesişim noktası iki doğru parçasını da paralel kenarların oranında böler.
- Dik üçgende yükseklik üç benzer dik üçgen oluşturur: |AH|² = |BH|·|HC|.