Doğruda ve Üçgende Açılar konu anlatımı

Konu anlatımı

Açı, başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimidir; ortak noktaya açının köşesi, ışınlara kolları denir. B köşesinden çıkan BA ve BC ışınlarının oluşturduğu açıya ABC açısı denir ve ölçüsü m(ABC) ile gösterilir; köşe harfi her zaman ortaya yazılır. Üçgende A köşesindeki iç açının ölçüsünü kısaca m(A) ile gösteriyoruz. Geometri sorularının çoğu bir yerde açı hesabına dayanır: paralel doğrular, üçgenler, dörtgenler ve çember sorularında ilk adım çoğu zaman eş ya da bütünler açıları görmektir.

Bu sayfada açı çeşitlerini, paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıları, paralel doğrular arasındaki kırık çizgileri, üçgenin iç ve dış açı özelliklerini, açıortayların kesiştiği noktada oluşan açıları ve aynalarda yansıma sorularını göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.

Açı çeşitleri ve açı çiftleri

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıya dar açı, 90° olana dik açı, 90° ile 180° arasında olana geniş açı, 180° olana doğru açı denir. Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı tümler, 180° olan iki açı bütünler açılardır: 35°'lik bir açının tümleri 55°, bütünleri 145°'dir. Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar eştir. Komşu ve bütünler iki açının açıortayları ise birbirine diktir.

Paralel doğrularda açılar

Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde sekiz açı oluşur ve bu açılar yalnız iki farklı ölçü alır: dar açılar x ise geniş açıların her biri 180° − x'tir. Yöndeş açılar, iç ters açılar ve dış ters açılar eştir; kesenin aynı tarafında kalıp ters yöne bakan karşı durumlu açılar ise bütünlerdir. Bu kuralların tersi de doğrudur: bir kesenle yapılan yöndeş ya da iç ters açılar eşse iki doğru paraleldir.

Paralel doğrular arasında kırık çizgi

d₁ ∥ d₂ olsun; A noktası d₁, B noktası d₂ üzerinde, E noktası iki doğrunun arasında ve A ile B'nin sağında olsun. d₁ doğrusunun A'dan sağa giden kısmı [AE] ile x, d₂ doğrusunun B'den sağa giden kısmı [BE] ile y açısını yapıyorsa m(AEB) = x + y olur. Bunu görmek için E'den paralellere bir paralel çizersin; AEB açısı, x ve y ile iç ters olan iki parçaya ayrılır. Çizgi birden çok kez kırılıyorsa her kırılma noktasından ayrı bir paralel çizilir.

Üçgende iç ve dış açılar

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°'dir. Bir köşedeki dış açı, o köşedeki iç açının bütünleridir ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: m(A) = 50° ve m(B) = 70° ise C köşesindeki dış açı 120°'dir. Her köşeden birer dış açı alınırsa bu üç açının toplamı 360°'dir. Bir üçgende en çok bir dik ya da bir geniş açı bulunabilir.

Açıortayların kesişimi

ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki iç açıortaylar I noktasında kesişirse m(BIC) = 90° + m(A)/2 olur. B'deki iç açıortay ile C'deki dış açıortay E noktasında kesişirse m(BEC) = m(A)/2, B ve C'deki dış açıortaylar F noktasında kesişirse m(BFC) = 90° − m(A)/2 olur. Bu üç bağıntıyı ezberlemek zorunda değilsin; her biri iç açılar toplamı ve dış açı özelliğiyle birkaç satırda elde edilir.

İç nokta, yıldız ve aynalar

D noktası ABC üçgeninin içindeyse m(BDC) = m(BAC) + m(ABD) + m(ACD) olur; BD doğrusunu [AC] kenarına kadar uzatıp dış açı özelliğini iki kez kullanarak bunu görebilirsin. Birbirini kesen beş doğru parçasıyla çizilen beş köşeli yıldızın uç açılarının toplamı 180°'dir. Aynalı sorularda gelen ışının aynayla yaptığı açının yansıyan ışının aynayla yaptığı açıya eşit olduğu soruda verilir; sen bu eşitliği üçgendeki açı özellikleriyle birleştirirsin.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Tümler ve bütünler açıları karıştırmak: tümlerin toplamı 90°, bütünlerin toplamı 180°'dir.
• Paralel doğrularda karşı durumlu açıları eş sanmak; bu açılar bütünlerdir.
• Dış açıyı, komşu olmayan iki iç açının toplamı yerine farkına ya da komşu iç açıya eşitlemek.
• Kırık çizgide açıları kırılma noktasına bakan taraftan değil öbür taraftan ölçüp doğrudan toplamak.
• İç ve dış açıortayın kesişiminde de 90° + A/2 bağıntısını kullanmak; bu bağıntı yalnız iki iç açıortay içindir.