Konu anlatımı
Üçgen, açı hesaplarının ana aracıdır; dörtgen, çokgen ve çember sorularında bile çoğu zaman bir üçgenin açılarına başvurursun. Bu alt başlıkta üçgenin iç ve dış açı özelliklerini, bu özelliklerin nereden geldiğini ve açılarına göre üçgen çeşitlerini göreceksin.
İç açılar toplamı
ABC üçgeninin A köşesinden [BC] kenarına paralel bir doğru çizersen A'da üç açı oluşur ve bu açılar bir doğru açı tamamlar. Kenarlardaki iki açı, iç ters açılar olarak B ve C açılarına eşittir. Bu yüzden m(A) + m(B) + m(C) = 180°'dir. Buradan iki sonuç çıkar: bir üçgende en çok bir dik ya da bir geniş açı bulunabilir ve iki açısı bilinen üçgenin üçüncü açısı hemen bulunur.
Dış açı
Bir köşedeki iç açının bütünlerine o köşedeki dış açı denir; [BC] kenarı C'den öteye uzatılınca C'de oluşan açı buna örnektir. Bu dış açının ölçüsü 180° − m(C) olur ve iç açılar toplamından bu değer m(A) + m(B) toplamına eşittir. Yani bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. Her köşeden birer dış açı alınırsa toplam 3·180° − 180° = 360° olur.
Açılarına göre üçgenler
Üç açısı da dar olan üçgene dar açılı üçgen, bir açısı dik olana dik üçgen, bir açısı geniş olana geniş açılı üçgen denir. Bir köşedeki dış açı geniş ise o köşedeki iç açı dardır. Dış açıların en çok biri dar olabilir; iki dış açı dar olsaydı iki iç açı geniş olurdu. Açıları 1, 2 ve 3 ile orantılı olan bir üçgenin açıları 30°, 60° ve 90°'dir.
Kenar üzerindeki noktayla oluşan üçgenler
D noktası [BC] kenarı üzerindeyse [AD] doğru parçası üçgeni ABD ve ADC üçgenlerine ayırır. ADB ve ADC açıları bütünlerdir ve her biri öbür üçgende bir dış açıdır: m(ADC) = m(BAD) + m(ABD). Bu bakış, bir kenara çizilen doğru parçası içeren soruların çoğunu tek adıma indirir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir üçgenin iç açıları 2, 3 ve 4 sayılarıyla orantılıdır. En büyük iç açının bulunduğu köşedeki dış açı kaç derecedir?
Çözüm. Açılar 2k, 3k ve 4k olsun; toplamları 9k = 180° olduğundan k = 20° bulunur. Açılar 40°, 60° ve 80°'dir. En büyük açının bulunduğu köşedeki dış açı 180° − 80° = 100°'dir; bu değer öbür iki iç açının toplamı olan 40° + 60° ile aynıdır.
Örnek 2. ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerindedir. m(ABD) = 40°, m(BAD) = 35° ve m(DAC) = 25° olduğuna göre m(ADC) ve m(ACD) kaç derecedir?
Çözüm. ADC açısı, ABD üçgeninin D köşesindeki dış açıdır: m(ADC) = 40° + 35° = 75°. ADC üçgeninde iç açılar toplamından m(ACD) = 180° − 75° − 25° = 80° bulunur. Kontrol: ABC üçgeninin açıları 60°, 40° ve 80°'dir ve toplamları 180°'dir.
Örnek 3. Bir üçgenin dış açıları 3, 4 ve 5 sayılarıyla orantılıdır. Bu üçgenin iç açıları kaçar derecedir?
Çözüm. Dış açılar 3k, 4k ve 5k olsun; dış açılar toplamı 360° olduğundan 12k = 360° ve k = 30° bulunur. Dış açılar 90°, 120° ve 150°'dir. Her iç açı aynı köşedeki dış açının bütünleridir: 90°, 60° ve 30°. Üçgen bir dik üçgendir.
Sık yapılan hatalar
- Bir köşedeki iç ve dış açının toplamını 360° sanmak; bu toplam 180°'dir.
- Dış açıyı, komşu olmayan iki iç açının toplamı yerine farkına eşitlemek.
- Dış açılar toplamını 180° almak; bir üçgende dış açılar toplamı 360°'dir.
- İç açılar toplamı 180°, dış açılar toplamı 360°'dir.
- Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır.
- Bir üçgende en çok bir dik ya da bir geniş açı vardır.