Konu anlatımı
Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan açılar arasında güçlü ilişkiler vardır ve bu ilişkiler hemen her geometri sorusunda karşına çıkar. Bu alt başlıkta bu açıların adlarını, hangilerinin eş, hangilerinin bütünler olduğunu ve iki doğrunun paralel olup olmadığını açılardan nasıl anlayacağını göreceksin.
Kesenle oluşan sekiz açı
d₁ ve d₂ doğrularını bir k doğrusu kestiğinde her kesişim noktasında dört, toplam sekiz açı oluşur. İki doğrunun arasında kalan dört açıya iç açılar, dışında kalan dört açıya dış açılar denir. d₁ ∥ d₂ ise bu sekiz açı yalnız iki farklı ölçü alır: dar açılar x ise geniş açıların her biri 180° − x'tir. Kesen paralellere dikse sekiz açının hepsi 90°'dir.
Eş ve bütünler açı çiftleri
d₁ ∥ d₂ olduğunda açı çiftleri şu kurallara uyar:
- Yöndeş açılar eştir: kesenin aynı tarafında bulunan ve aynı yöne bakan açılardır; biri paralellerin arasında, öbürü dışındadır.
- İç ters açılar eştir: paralellerin arasında, kesenin farklı taraflarında bulunan ve ters yöne bakan açılardır.
- Dış ters açılar eştir: paralellerin dışında, kesenin farklı taraflarında bulunan ve ters yöne bakan açılardır.
- Karşı durumlu açılar bütünlerdir: kesenin aynı tarafında bulunan ve ters yöne bakan açılardır; toplamları 180°'dir.
Paralellik testi ve üçgenin iç açıları
Bu kuralların tersi de doğrudur: iki doğrunun bir kesenle yaptığı yöndeş ya da iç ters açılar eşse veya karşı durumlu açılar bütünlerse bu doğrular paraleldir. Aynı doğruya dik iki doğru da birbirine paraleldir. İç ters açılar, üçgenin iç açılarının toplamının neden 180° olduğunu da gösterir: ABC üçgeninin A köşesinden [BC] kenarına çizilen paralel, A'da B ve C açılarına eş iki açı oluşturur ve bu iki açı A açısıyla birlikte bir doğru açı tamamlar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. d₁ ∥ d₂ ve k bir kesendir. k doğrusunun d₁ ile yaptığı açılardan biri 3x + 15°, d₂ ile yaptığı açılardan bu açıyla karşı durumlu olanı 2x + 15°'dir. Bu iki açı kaçar derecedir?
Çözüm. Karşı durumlu açılar bütünler olduğundan (3x + 15°) + (2x + 15°) = 180° yazılır. Buradan 5x + 30° = 180° ve x = 30° bulunur. Açılar 3·30° + 15° = 105° ve 2·30° + 15° = 75°'dir. Kontrol: 105° + 75° = 180°.
Örnek 2. d₁ ∥ d₂ olmak üzere A noktası d₁, B ve C noktaları d₂ üzerindedir ve B, C'nin solundadır. d₁ doğrusunun A'dan sola giden kısmı ile [AB] arasındaki açı 65°, A'dan sağa giden kısmı ile [AC] arasındaki açı 50°'dir. ABC üçgeninin açıları kaçar derecedir?
Çözüm. d₁ doğrusunun A'dan sola giden kısmı ile [AB] arasındaki 65°'lik açı, B'deki ABC açısıyla iç ters açıdır; m(ABC) = 65° olur. Aynı biçimde m(ACB) = 50°'dir. A'da üç açı bir doğru açı oluşturduğundan m(BAC) = 180° − 65° − 50° = 65° bulunur. Üçgenin açıları 65°, 65° ve 50°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Karşı durumlu açıları eş sanmak; bu açılar bütünlerdir.
- Doğruların paralel olduğu verilmeden yöndeş ya da iç ters açıları eş kabul etmek.
- Bir dar açıyı bir geniş açıya eşitlemek; paralellerde eş açılar ya ikisi de dar ya ikisi de geniştir.
- Paralellerde yalnız iki ölçü vardır: x ve 180° − x.
- Yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eş; karşı durumlu açılar bütünlerdir.
- Yöndeş ya da iç ters açılar eşse doğrular paraleldir.