Konu anlatımı
Açı hesaplarının temeli, açıları türlerine göre tanımak ve iki açı arasındaki ilişkiyi görmektir. Bu alt başlıkta açı çeşitlerini, tümler ve bütünler açıları, komşu ve ters açıları ve komşu açıların açıortaylarıyla ilgili iki önemli sonucu göreceksin.
Açı ve açı çeşitleri
Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir; ortak noktaya köşe, ışınlara kol denir. B köşesinden çıkan BA ve BC ışınlarının oluşturduğu açı ABC açısıdır ve ölçüsü m(ABC) ile gösterilir. Ölçüsüne göre açılar dar (0° ile 90° arası), dik (90°), geniş (90° ile 180° arası) ve doğru açı (180°) diye adlandırılır. Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına o açının açıortayı denir.
Tümler ve bütünler açılar
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler, 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. Ölçüsü x olan bir açının tümleri 90° − x, bütünleri 180° − x'tir; bu yüzden bir açının bütünleri, tümlerinden her zaman 90° fazladır. Bir açının bütünleri tümlerinin 4 katıysa 180° − x = 4·(90° − x) denkleminden 3x = 180° ve x = 60° bulunur. Tümleri olan bir açı dar açı olmalıdır.
Komşu ve ters açılar
Köşeleri ve birer kolları ortak olan, iç bölgeleri kesişmeyen iki açıya komşu açılar denir. Bir doğru üzerinde aynı noktada sıralanan komşu açıların toplamı 180°'dir; bir noktanın çevresindeki açıların toplamı ise 360°'dir. Kesişen iki doğru dört açı oluşturur; karşılıklı duran açılara ters açılar denir. Ters açılar eştir, çünkü ikisi de aradaki açının bütünleridir.
Komşu açıların açıortayları
Komşu iki açının açıortayları arasındaki açı, iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir. Bu yüzden komşu ve bütünler iki açının açıortayları birbirine diktir: açılar x ve 180° − x ise açıortaylar arasındaki açı x/2 + (180° − x)/2 = 90° olur. Komşu ve tümler iki açının açıortayları arasındaki açı ise 45°'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir açının tümlerinin 3 katı, bütünlerinden 10° fazladır. Bu açı kaç derecedir?
Çözüm. Açının ölçüsüne x dersek tümleri 90° − x, bütünleri 180° − x olur. Denklem 3·(90° − x) = (180° − x) + 10° biçimindedir. Açınca 270° − 3x = 190° − x, yani 2x = 80° ve x = 40° bulunur. Kontrol: tümler 50°, 3 katı 150°; bütünler 140° ve 150° − 140° = 10°.
Örnek 2. A, O ve D noktaları doğrusaldır; B ve C noktaları bu doğrunun aynı tarafındadır. AOB, BOC ve COD komşu açılarında m(AOB) = 3x, m(BOC) = 2x + 20° ve m(COD) = x + 10°'dir. OE ışını BOC açısının açıortayı olduğuna göre m(AOE) kaç derecedir?
Çözüm. A, O ve D doğrusal olduğu için üç komşu açının toplamı 180°'dir: 3x + 2x + 20° + x + 10° = 180°, yani 6x = 150° ve x = 25° bulunur. Açılar 75°, 70° ve 35°'dir. OE açıortay olduğundan m(BOE) = 35° ve m(AOE) = 75° + 35° = 110°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Tümler ve bütünler açıların toplamlarını karıştırmak.
- Açıyı adlandırırken köşe harfini ortaya yazmamak: m(ABC) yazımında açının köşesi B'dir.
- Ters açıları bütünler sanmak; ters açılar eş, bir doğru üzerindeki komşu açılar bütünlerdir.
- x'in tümleri 90° − x, bütünleri 180° − x'tir.
- Ters açılar eştir; bir doğru üzerindeki komşu açıların toplamı 180°'dir.
- Komşu bütünler açıların açıortayları diktir; komşu tümler açılarınkiler 45°'lik açı yapar.