Konu anlatımı
Bir üçgenin içine alınan nokta, birbirini kesen doğru parçaları ya da beş köşeli yıldız ilk bakışta karmaşık açı soruları oluşturur. Bu alt başlıkta bu soruların hepsinin dış açı özelliğiyle birkaç adımda çözüldüğünü göreceksin.
Üçgenin içindeki nokta
D noktası ABC üçgeninin içinde olsun ve BD doğrusu [AC] kenarını K noktasında kessin. ABK üçgeninde K'deki dış açı, yani BKC açısı, m(BAC) + m(ABD) toplamına eşittir. DKC üçgeninde D'deki dış açı olan BDC açısı da BKC açısı ile ACD açısının toplamıdır. Sonuç: m(BDC) = m(BAC) + m(ABD) + m(ACD). m(BAC) = 50°, m(ABD) = 20° ve m(ACD) = 30° ise m(BDC) = 100°'dir.
Kesişen doğru parçaları
[AC] ve [BD] doğru parçaları E noktasında kesişsin. AEB ve CED açıları ters açı olduğu için eştir. ABE ve CDE üçgenlerinde iç açılar toplamı 180° olduğundan, E dışındaki iki köşedeki açıların toplamları da eşittir: m(EAB) + m(EBA) = m(ECD) + m(EDC). Birbirine bağlı birçok üçgen içeren sorularda bu eşitlik bilinmeyen sayısını azaltır.
Beş köşeli yıldız
Birbirini kesen beş doğru parçasıyla çizilen beş köşeli bir yıldızın uç açılarının toplamı 180°'dir. Nedenini görmek için bir uçtaki küçük üçgeni ele al: bu üçgenin uç dışındaki iki köşesindeki açıların her biri, dış açı özelliğiyle başka iki uç açının toplamına eşittir. Böylece beş uç açı tek bir üçgenin üç iç açısı gibi toplanır. Bu sonuç yıldız düzgün olmasa da geçerlidir; düzgün yıldızda her uç açı 36°'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. D noktası ABC üçgeninin içindedir. m(BDC) = 115°, m(ABD) = 25° ve m(ACD) = 30° olduğuna göre m(BAC) kaç derecedir?
Çözüm. Üçgen içindeki nokta için m(BDC) = m(BAC) + m(ABD) + m(ACD) bağıntısı geçerlidir. 115° = m(BAC) + 25° + 30° eşitliğinden m(BAC) = 60° bulunur. Bağıntıyı hatırlamıyorsan BD doğrusunu [AC] kenarına kadar uzatıp dış açı özelliğini iki kez kullanarak aynı sonuca ulaşırsın.
Örnek 2. Beş köşeli bir yıldızın uç açılarının ölçüleri x, x + 4°, x + 8°, x + 12° ve x + 16°'dir. En büyük uç açı kaç derecedir?
Çözüm. Uç açıların toplamı 180°'dir: 5x + 40° = 180°, yani x = 28° bulunur. Açılar 28°, 32°, 36°, 40° ve 44°'dir; en büyük uç açı 44°'dir. Yıldız düzgün olsaydı her uç açı 180°/5 = 36° olurdu.
Sık yapılan hatalar
- Üçgen içindeki noktada oluşan açıyı yalnızca A açısına eşit sanmak; ABD ve ACD açıları da eklenir.
- Beş köşeli yıldızın uç açılarının toplamını 360° sanmak.
- Kesişen doğru parçalarında ters açıları görmeden her açıya yeni bir bilinmeyen vermek.
- Üçgen içindeki D noktası için m(BDC) = m(BAC) + m(ABD) + m(ACD).
- Beş köşeli yıldızda uç açıların toplamı 180°'dir.
- Ters açılı iki üçgende ters açı dışındaki açıların toplamları eşittir.