Konu anlatımı
İki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenarı eş olan üçgene eşkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende eş kenarlara yan kenar, üçüncü kenara taban, yan kenarların birleştiği köşeye tepe denir. Bu üçgenler simetrik oldukları için birçok uzunluk ve açı tek bir bilgiyle belirlenir; geometri sorularında da en sık karşılaşılan üçgenlerdir.
Bu sayfada ikizkenar üçgenin açı ve yükseklik özelliklerini, eş parçalar zinciriyle açı hesabını, eşkenar üçgenin yüksekliğini ve alanını, bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin toplamını ve eşkenar üçgenlerle kurulan şekilleri göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
İkizkenar üçgenin özellikleri
|AB| = |AC| olan ABC ikizkenar üçgeninde taban açıları eştir: m(B) = m(C). Tersi de doğrudur: iki açısı eş olan üçgen ikizkenardır ve eş açıların karşısındaki kenarlar eştir. Tepe açısı 40° ise taban açılarının her biri (180° − 40°)/2 = 70°'dir. Tepeden tabana indirilen yükseklik aynı zamanda tabana ait kenarortay, tepe açısının açıortayı ve tabanın orta dikmesidir.
Eş parçalar zinciri
Bir soruda art arda eş doğru parçaları verilmişse her eş parça çifti bir ikizkenar üçgen oluşturur. Bu üçgenlerin taban açılarını eşitleyip dış açı özelliğini kullanarak açıları adım adım taşırsın. Bu tür sorularda en küçük açıya x deyip her yeni açıyı x cinsinden yazmak en güvenli yoldur.
Eşkenar üçgen
Eşkenar üçgenin her açısı 60°'dir. Kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik a√3/2, alan a²√3/4'tür. Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği 3√3 cm, alanı 9√3 cm²'dir. Eşkenar üçgende her yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır; bu yüzden ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve çevrel çemberin merkezi aynı noktadır.
Kenarlara indirilen dikmeler
Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan üç kenara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı üçgenin yüksekliğine eşittir. İkizkenar üçgende tabandaki herhangi bir noktadan yan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı ise yan kenara ait yüksekliğe eşittir. İki sonuç da üçgenin alanını parçalara ayırarak elde edilir.
Eşkenar üçgenlerle kurulan şekiller
Bir karenin kenarı üzerine kurulan eşkenar üçgen, kare ile birlikte ikizkenar üçgenler oluşturur ve bu üçgenlerde 15°, 75° ve 150° gibi açılar ortaya çıkar. Ortak köşeli iki eşkenar üçgende ise K.A.K. kuralıyla eş üçgenler oluşur; bu eşlik eşit uzunlukları ve 60°'lik açıları taşımanı sağlar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = |AC|'dir. C köşesindeki dış açı 115° olduğuna göre m(A) kaç derecedir?
Çözüm. C'deki iç açı dış açının bütünleridir: m(C) = 180° − 115° = 65°. Üçgen ikizkenar olduğundan taban açıları eştir: m(B) = 65°. Açıların toplamından m(A) = 180° − 65° − 65° = 50° bulunur.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = |AC|'dir. D noktası [AC] üzerindedir ve |AD| = |BD| = |BC|'dir. m(BAC) kaç derecedir?
Çözüm. m(BAC) = x olsun. ABD üçgeninde |AD| = |BD| olduğundan m(ABD) = x'tir ve D'deki dış açı m(BDC) = 2x olur. BDC üçgeninde |BD| = |BC| olduğundan m(C) = m(BDC) = 2x'tir. ABC ikizkenar olduğundan m(ABC) = m(C) = 2x'tir. Açıların toplamı x + 2x + 2x = 180° olduğundan x = 36° bulunur.
Örnek 3. Çevresi 24 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği ve alanı kaçtır?
Çözüm. Kenar uzunluğu 24/3 = 8 cm'dir. Yükseklik a√3/2 = 8√3/2 = 4√3 cm'dir. Alan a²√3/4 = 64√3/4 = 16√3 cm²'dir. Alanı taban çarpı yükseklik bölü iki ile de bulabilirsin: 8·4√3/2 = 16√3.
Örnek 4. Alanı 9√3 cm² olan eşkenar üçgenin içindeki bir P noktasından kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı kaç santimetredir?
Çözüm. a²√3/4 = 9√3 eşitliğinden a² = 36 ve a = 6 cm bulunur. Eşkenar üçgenin içindeki her noktadan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı yüksekliğe eşittir. Yükseklik 6√3/2 = 3√3 cm olduğundan dikmelerin toplamı 3√3 cm'dir; P'nin yeri sonucu değiştirmez.
Sık yapılan hatalar
- Eş açıları eş kenarların karşısı yerine yanında aramak.
- Tepe açısı ile taban açısını karıştırmak: tepe açısı 40° ise taban açıları 70°'dir.
- Eşkenar üçgende yüksekliği a√3 sanmak; doğrusu a√3/2'dir.
- Eş parçalar zincirinde dış açı özelliğini kullanmadan her açıya yeni bir bilinmeyen vermek.
- İkizkenar üçgende tabandaki noktadan inen dikmelerin toplamını tabana ait yüksekliğe eşitlemek; doğrusu yan kenara ait yüksekliktir.
- |AB| = |AC| ⇔ m(B) = m(C).
- İkizkenar üçgende tepeden inen yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçasıdır.
- Eşkenar üçgende yükseklik a√3/2, alan a²√3/4'tür.
- Eşkenar üçgenin içindeki noktadan kenarlara dikmelerin toplamı yüksekliğe eşittir.
- Eş parça gördüğün her yerde bir ikizkenar üçgen ara.