Konu anlatımı
İkizkenar üçgen, simetrisi sayesinde az bilgiyle çok şey söyler. Bu alt başlıkta taban açılarının neden eş olduğunu, tepe açısı ile taban açıları arasındaki ilişkiyi ve tepeden inen yüksekliğin özel durumunu göreceksin.
Taban açıları
|AB| = |AC| olan ABC üçgeninde A tepe, [BC] tabandır. A'dan tabana inen dikme [BC] kenarını H noktasında kessin. ABH ve ACH dik üçgenlerinde hipotenüsler eş ve [AH] ortak olduğundan Pisagor teoremiyle |BH| = |HC| bulunur; iki üçgen K.K.K. kuralıyla eştir. Bu yüzden m(B) = m(C) olur. Tersi de doğrudur: iki açısı eş olan üçgende bu açıların karşısındaki kenarlar eştir.
Açılar arasındaki ilişki
Tepe açısı α ise taban açılarının her biri (180° − α)/2 = 90° − α/2 olur. Taban açısı 50° ise tepe açısı 180° − 2·50° = 80°'dir. Taban açıları her zaman dardır, çünkü bir üçgende iki dik ya da iki geniş açı bulunamaz. Tepe açısı 90° ise üçgen ikizkenar dik üçgendir ve taban açılarının her biri 45°'dir.
Tepeden inen yükseklik
İkizkenar üçgende tepeden tabana inen yükseklik aynı zamanda tabana ait kenarortay, tepe açısının açıortayı ve tabanın orta dikmesidir. Yan kenarları 10 cm, tabanı 12 cm olan ikizkenar üçgende yükseklik tabanı 6 cm'lik iki parçaya ayırır ve Pisagor teoremiyle yükseklik √(10² − 6²) = 8 cm bulunur; alan 12·8/2 = 48 cm²'dir. Bu çakışma yalnızca tepeden inen doğru parçası için geçerlidir; yan kenarlara inen yükseklik ile kenarortay genellikle farklıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = |AC|, m(A) = 2x + 20° ve m(B) = x + 30°'dir. Üçgenin açılarını bulunuz.
Çözüm. Üçgen ikizkenar olduğundan m(C) = m(B) = x + 30°'dir. Açıların toplamından (2x + 20°) + 2·(x + 30°) = 180°, yani 4x + 80° = 180° ve x = 25° bulunur. Açılar m(A) = 70° ve m(B) = m(C) = 55°'dir.
Örnek 2. Yan kenarları 13 cm, tabanı 10 cm olan ikizkenar üçgenin tabana ait yüksekliği ve alanı kaçtır?
Çözüm. Tepeden inen yükseklik tabanı ortalar; her parça 5 cm'dir. Yükseklik, hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgenin öbür dik kenarıdır: √(13² − 5²) = √144 = 12 cm. Alan 10·12/2 = 60 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Eş açıları, eş kenarların karşısı yerine yanında aramak.
- Tepe açısını taban açılarından biri sanmak.
- Yan kenara inen yüksekliğin de o kenarı ortaladığını sanmak.
- Eş kenarların karşısındaki açılar eştir; tersi de doğrudur.
- Tepe açısı α ise taban açılarının her biri 90° − α/2 olur.
- Tepeden inen yükseklik tabanı ve tepe açısını ikiye böler.