Konu anlatımı
İki eşkenar üçgen bir köşeyi paylaşıyorsa bu yapıda gizli bir eşlik vardır. Bu alt başlıkta bu eşliği görmeyi, eş doğru parçalarını ve açıları taşımayı ve yan yana dizilmiş eşkenar üçgenlerle kurulan soruları göreceksin.
Gizli eşlik
B, C ve D noktaları bu sırayla bir doğru üzerinde olsun ve ABC ile CDE eşkenar üçgenleri doğrunun aynı tarafında kurulsun. ACD ve BCE üçgenlerinde |AC| = |BC| ve |CD| = |CE|'dir; aradaki açılar da eştir: m(ACD) = m(BCE) = 180° − 60° = 120°. K.A.K. kuralıyla bu iki üçgen eştir ve |AD| = |BE| olur.
Eşlikten çıkan açılar
Eş üçgenlerin karşılıklı açıları da eştir: m(CAD) = m(CBE) ve m(CDA) = m(CEB). AD ile BE doğru parçaları P noktasında kesişsin. BPD üçgeninde B ve D'deki açılar, ACD üçgeninde A ve D'deki açılara eşittir ve bunların toplamı 180° − 120° = 60°'dir. Bu yüzden m(BPD) = 120° ve m(APB) = 60° olur.
Yan yana eşkenar üçgenler
Kenarları eş olan ABC ve CDE eşkenar üçgenleri, B, C, D doğrusal olacak biçimde yan yana kurulursa |AC| = |CD| ve m(ACD) = 120° olur. ACD ikizkenar üçgeninin taban açıları 30°'dir; bu yüzden m(ADB) = 30° ve ABD üçgeninde m(BAD) = 180° − 60° − 30° = 90° bulunur. Yan yana eşkenar üçgenlerde böyle 30°-30°-120° üçgenleri ve dik üçgenler sık ortaya çıkar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. B, C ve D noktaları bu sırayla bir doğru üzerindedir. ABC ve CDE eşkenar üçgenleri doğrunun aynı tarafında kurulmuştur; |BC| = 4 cm ve |CD| = 6 cm'dir. AD ile BE doğru parçaları P noktasında kesişiyor. |BE| kaç santimetredir ve m(APB) kaç derecedir?
Çözüm. ACD ve BCE üçgenlerinde |AC| = |BC| = 4, |CD| = |CE| = 6 ve aradaki açılar 120°'dir; K.A.K. kuralıyla eştirler ve |BE| = |AD| olur. A'dan BD doğrusuna inen dikmenin ayağı H, [BC] kenarının orta noktasıdır; |AH| = 2√3 ve |HD| = 2 + 6 = 8'dir. Pisagor teoremiyle |AD| = √(64 + 12) = √76 = 2√19 cm bulunur; |BE| de 2√19 cm'dir. BPD üçgeninde B ve D'deki açıların toplamı 60° olduğundan m(BPD) = 120° ve m(APB) = 60°'dir.
Örnek 2. Kenarları 5 cm olan ABC ve CDE eşkenar üçgenleri, B, C, D doğrusal olacak biçimde doğrunun aynı tarafında yan yana kurulmuştur. m(ADB) kaç derecedir ve |AD| kaç santimetredir?
Çözüm. ACD üçgeninde |AC| = |CD| = 5 cm ve m(ACD) = 180° − 60° = 120°'dir; taban açıları 30° olduğundan m(ADB) = 30°'dir. ABD üçgeninde m(ABD) = 60° ve m(ADB) = 30° olduğundan m(BAD) = 90°'dir. Bu dik üçgende hipotenüs |BD| = 10 cm ve |AB| = 5 cm olduğundan Pisagor teoremiyle |AD| = √(100 − 25) = 5√3 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Eş üçgenleri yanlış eşleştirmek; eşit kenarlar arasındaki açının da eşit olduğunu kontrol et.
- Ortak köşedeki açıyı 60° sanmak; B, C, D doğrusal ise ACD açısı 180° − 60° = 120°'dir.
- Eş üçgenlerden çıkan eşit uzunlukları gördükten sonra açı eşliklerini kullanmayı unutmak.
- Ortak köşeli iki eşkenar üçgende K.A.K. eşliğini ara: |AD| = |BE|.
- AD ile BE arasındaki açı 60°'dir.
- Kenarları eş, yan yana iki eşkenar üçgende 30°-30°-120° ikizkenar üçgeni oluşur.