Açıortay ve Kenarortay konu anlatımı

Konu anlatımı

Üçgenin yardımcı elemanları açıortay, kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikmedir. Açıortay bir açıyı iki eş açıya ayırır, kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir. Bu doğru parçalarının oluşturduğu oranlar ve kesişim noktaları, uzunluk ve alan sorularında kısa yollar sağlar.

Bu sayfada iç ve dış açıortay teoremlerini, açıortayın kenarlara eşit uzaklık özelliğini, kenarortayları ve ağırlık merkezini, dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı, bu elemanların alanla ilişkisini ve kenar orta dikme ile yüksekliği göreceksin. Açıortay ve kenarortay uzunlukları için ayrı bir formül ezberlemen gerekmez; bu sayfadaki özellikler ve Pisagor teoremi yeterlidir. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.

Açıortay ve eşit uzaklık

Bir açının açıortayı üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır. Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir; bu nokta üç kenara eşit uzaklıktadır ve iç teğet çemberin merkezidir. A'daki açıortay üzerindeki bir noktanın [AB] kenarına uzaklığı 4 cm ise [AC] kenarına uzaklığı da 4 cm'dir.

İç açıortay teoremi

ABC üçgeninde A'daki iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kessin. Bu durumda |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olur: açıortay karşı kenarı, komşu kenarlarla aynı oranda böler. |AB| = 6, |AC| = 9 ve |BC| = 10 ise |BD| = 4 ve |DC| = 6'dır.

Dış açıortay teoremi

|AB| ≠ |AC| olan ABC üçgeninde A'daki dış açıortay BC doğrusunu E noktasında keserse |EB|/|EC| = |AB|/|AC| olur. E üçgenin dışındadır; |AB| < |AC| ise E, B'nin ötesindedir. Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir. |AB| = |AC| ise dış açıortay [BC] kenarına paralel olur.

Kenarortay ve ağırlık merkezi

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Üç kenarortay ağırlık merkezi denen G noktasında kesişir ve G her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler. Uzunluğu 12 cm olan bir kenarortayda G köşeye 8 cm, kenarın orta noktasına 4 cm uzaklıktadır. Her kenarortay üçgenin alanını iki eş parçaya böler.

Hipotenüse ait kenarortay

Dik üçgende hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır; bu yüzden hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. Hipotenüsü 10 cm olan dik üçgende bu kenarortay 5 cm'dir ve üçgeni iki ikizkenar üçgene ayırır.

Kenar orta dikme ve yükseklik

Bir kenarın orta noktasından o kenara çizilen dikmeye kenar orta dikme denir. Orta dikme üzerindeki her nokta kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır ve üç kenar orta dikme, çevrel çemberin merkezinde kesişir. Üç yüksekliği taşıyan doğrular da bir noktada kesişir; bu nokta dar açılı üçgende içte, dik üçgende dik açının köşesinde, geniş açılı üçgende dışta bulunur.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• İç açıortay teoreminde oranı ters kurmak: [BD] parçası [AB] kenarıyla, [DC] parçası [AC] kenarıyla eşleşir.
• Dış açıortayın kestiği noktayı üçgenin içinde aramak; bu nokta BC doğrusu üzerinde, üçgenin dışındadır.
• Ağırlık merkezinin böldüğü parçaları ters almak; büyük parça köşe tarafındadır.
• Hipotenüse ait kenarortay özelliğini dik kenarlara ait kenarortaylara da uygulamak.
• Açıortay ya da kenarortay uzunluğu için ezber formül aramak; eşit uzaklık özelliği, oranlar ve Pisagor teoremi çoğu zaman yeterlidir.