Konu anlatımı
Kenarortaylar üçgenin kenarlarını ortalar ve üçü birden ağırlık merkezi denen tek bir noktadan geçer. Bu alt başlıkta ağırlık merkezinin kenarortayları hangi oranda böldüğünü ve bu oranın Pisagor teoremiyle birlikte nasıl kullanıldığını göreceksin.
Kenarortay
ABC üçgeninde A köşesini [BC] kenarının orta noktası D'ye birleştiren [AD] doğru parçasına A'dan çizilen kenarortay denir. Her üçgenin üç kenarortayı vardır ve üçü de üçgenin içinde kalır. İkizkenar üçgende tepeden çizilen kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır; genel bir üçgende ise bu üç doğru parçası farklıdır.
Ağırlık merkezi ve 2 : 1 oranı
Üç kenarortay G noktasında kesişir; G'ye ağırlık merkezi denir. G her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: [AD] kenarortayında |AG| = 2·|GD| ve |AG| = 2·|AD|/3 olur. Uzunluğu 15 cm olan bir kenarortayda G köşeye 10 cm, kenarın orta noktasına 5 cm uzaklıktadır. Üçgen ince ve türdeş bir levha olsaydı G noktasından tek bir parmakla dengede tutulabilirdi; adı buradan gelir.
Dik kesişen kenarortaylar
B ve C köşelerinden çizilen [BE] ve [CF] kenarortayları G'de dik kesişsin. |GE| = x ve |GF| = y dersen |BG| = 2x ve |CG| = 2y olur. BGC dik üçgeninde |BC|² = 4x² + 4y², BGF dik üçgeninde |BF|² = 4x² + y² ve CGE dik üçgeninde |CE|² = x² + 4y² yazılır. Bu eşitlikler kenarları ve kenarortayları birbirine bağlar; F ve E orta noktalar olduğu için |AB| = 2·|BF| ve |AC| = 2·|CE|'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde [BE] ve [CF] kenarortayları G noktasında dik kesişiyor. |BE| = 9 cm ve |CF| = 12 cm olduğuna göre |BC| kaç santimetredir?
Çözüm. Ağırlık merkezi kenarortayları 2 : 1 böldüğü için |BG| = 9·2/3 = 6 cm ve |CG| = 12·2/3 = 8 cm'dir. BGC üçgeninde G'deki açı 90° olduğundan Pisagor teoremiyle |BC| = √(36 + 64) = 10 cm bulunur.
Örnek 2. ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir ve AG doğrusu [BC] kenarını D noktasında kesiyor. |AG| = 3x − 2 ve |GD| = x + 1 olduğuna göre |AD| kaç birimdir?
Çözüm. AG doğrusu ağırlık merkezinden geçtiği için [AD] bir kenarortaydır ve G onu köşeden itibaren 2 : 1 böler: 3x − 2 = 2·(x + 1), yani x = 4 bulunur. |AG| = 10 ve |GD| = 5 olduğundan |AD| = 15 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Oranı ters kullanmak: büyük parça köşe tarafındadır.
- Ağırlık merkezinden geçen bir doğrunun karşı kenarı rastgele bir noktada kestiğini düşünmek; köşeden geçiyorsa bu doğru kenarortaydır.
- Dik kesişen kenarortaylarda 2 : 1 oranını uygulamadan Pisagor teoremi yazmak.
- Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir.
- |AG| = 2·|GD|; |AG| kenarortayın üçte ikisi, |GD| üçte biridir.
- Kenarortaylar dikse G'de oluşan dik üçgenlerde Pisagor teoremini kullan.