Konu anlatımı
Açıortayı yalnızca açıyı ikiye bölen bir ışın olarak değil, iki kola eşit uzaklıktaki noktaların kümesi olarak da düşünebilirsin. Bu alt başlıkta bu özelliği, iç açıortayların kesişim noktasını ve bu noktanın alanla ilişkisini göreceksin.
Eşit uzaklık
B köşeli bir açının açıortayı üzerindeki bir P noktasından kollara inen dikmelerin ayakları H ve K olsun. BPH ve BPK dik üçgenlerinde [BP] ortak, B'deki açılar eş ve bu yüzden P'deki açılar da eştir; A.K.A. kuralıyla bu üçgenler eştir. Böylece |PH| = |PK| ve |BH| = |BK| olur. Tersi de doğrudur: bir açının içinde iki kola eşit uzaklıkta olan nokta açıortay üzerindedir.
İç açıortayların kesişimi
Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta açıortayların her birinin üzerinde olduğu için üç kenara eşit uzaklıktadır. Bu ortak uzaklık r ise merkezi bu nokta olan ve yarıçapı r olan çember üç kenara da teğettir; bu çembere iç teğet çember denir.
Alan ve yarıçap
İç teğet çemberin merkezi I'yı köşelere birleştirirsen üçgen IBC, ICA ve IAB üçgenlerine ayrılır. Bu üçgenlerin tabanları a, b, c ve yükseklikleri r olduğundan üçgenin alanı r·(a + b + c)/2 olur; çevrenin yarısına u dersen alan r·u'dur. Kenarları 6, 8 ve 10 olan dik üçgenin alanı 24, çevresinin yarısı 12'dir; buradan r = 2 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki iç açıortaylar I noktasında kesişiyor. I noktasının [AB] kenarına uzaklığı 3 cm'dir. I'nın öbür iki kenara uzaklıkları kaçtır? Üçgenin çevresi 36 cm ise alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. I noktası B'deki açıortay üzerinde olduğundan [AB] ve [BC] kenarlarına eşit uzaklıktadır; C'deki açıortay üzerinde olduğundan [BC] ve [AC] kenarlarına da eşit uzaklıktadır. Üç uzaklık da 3 cm'dir. Alan, bu uzaklık ile çevrenin yarısının çarpımıdır: 3·18 = 54 cm². Kenarları 9, 12 ve 15 cm olan dik üçgen bu koşulları sağlar.
Örnek 2. ABC üçgeninde m(B) = 90°, |AB| = 9 cm ve |BC| = 12 cm'dir. A'daki iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kesiyor. D'nin [AC] kenarına uzaklığı kaç santimetredir?
Çözüm. Pisagor teoremiyle |AC| = 15 cm'dir. D açıortay üzerinde olduğundan [AB] ve [AC] kenarlarına eşit uzaklıktadır; bu uzaklığa x diyelim. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları toplamı ABC üçgeninin alanına eşittir: 9·x/2 + 15·x/2 = 9·12/2. Buradan 12x = 54 ve x = 4,5 cm bulunur. [BC] kenarı [AB] kenarına dik olduğu için |BD| de 4,5 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- Uzaklığı dikme yerine eğik bir doğru parçasıyla ölçmek; noktanın kenara uzaklığı dikme uzunluğudur.
- İç açıortayların kesişim noktasını ağırlık merkeziyle karıştırmak.
- Alan = r·u bağıntısında u yerine çevrenin tamamını kullanmak.
- Açıortay üzerindeki her nokta kollara eşit uzaklıktadır; tersi de doğrudur.
- İç açıortayların kesişim noktası iç teğet çemberin merkezidir.
- Alan = r·u; u çevrenin yarısıdır.