Konu anlatımı
Bir üçgende iç açıortay karşı kenarı rastgele değil, açıyı oluşturan kenarların oranında böler. Bu alt başlıkta teoremi, alanla neden doğru olduğunu ve sorularda nasıl kullanıldığını göreceksin.
Teorem
ABC üçgeninde A'daki iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kessin. Bu durumda |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olur. Kısaca, açıortayın ayırdığı her parça kendisine komşu olan kenarla orantılıdır: [BD] parçası [AB] kenarıyla, [DC] parçası [AC] kenarıyla aynı taraftadır. |AB| = |AC| ise D orta noktadır ve açıortay aynı zamanda kenarortaydır.
Alanla ispat
ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan [BC] kenarına inen yükseklikleri ortaktır; bu yüzden alanlarının oranı tabanlarının oranına, yani |BD|/|DC| oranına eşittir. Öte yandan D açıortay üzerinde olduğu için [AB] ve [AC] kenarlarına eşit uzaklıktadır; bu uzaklık d ise alanlar |AB|·d/2 ve |AC|·d/2 olur ve oranları |AB|/|AC|'dir. İki oran aynı alan oranını verdiği için birbirine eşittir.
Parçaları bulmak
|AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a ise |BD| = a·c/(b + c) ve |DC| = a·b/(b + c) olur. Bunu ezberlemek yerine parçaları c·k ve b·k diye yazıp toplamı a'ya eşitlemen yeterlidir. Açıortayın ayırdığı ABD ve ADC üçgenlerinin alanları da c ve b ile orantılıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 20 cm'dir. A'daki iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |BD| ve |DC| kaçtır?
Çözüm. |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 10/15 = 2/3 olduğundan |BD| = 2k ve |DC| = 3k yazarız. 5k = 20 eşitliğinden k = 4 bulunur. |BD| = 8 cm ve |DC| = 12 cm'dir.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm'dir. [AD] iç açıortay ve [AE] kenarortaydır; D ve E noktaları [BC] üzerindedir. |DE| kaç santimetredir?
Çözüm. Açıortay teoremine göre |BD|/|DC| = 6/10 = 3/5'tir; |BD| = 3k, |DC| = 5k ve 8k = 12 olduğundan k = 1,5 ve |BD| = 4,5 cm bulunur. Kenarortay [BC] kenarını ortaladığı için |BE| = 6 cm'dir. D ve E aynı kenar üzerinde olduğundan |DE| = 6 − 4,5 = 1,5 cm'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninde |AB| = 9 cm, |AC| = 6 cm ve [AD] iç açıortaydır. ABC üçgeninin alanı 25 cm² olduğuna göre ABD üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları, D'nin iki kenara eşit uzaklığı nedeniyle |AB| ve |AC| ile orantılıdır: 9 : 6 = 3 : 2. Toplam 5 parça 25 cm² olduğundan bir parça 5 cm²'dir. ABD üçgeninin alanı 3·5 = 15 cm², ADC üçgeninin alanı 10 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Oranı ters kurmak: [BD] parçasını [AC] kenarıyla eşleştirmek.
- Açıortayın karşı kenarı ortaladığını sanmak; bu yalnızca |AB| = |AC| olduğunda doğrudur.
- Açıortay teoremini kenarortayın özelliğiyle karıştırmak.
- |BD|/|DC| = |AB|/|AC|; her parça komşu kenarıyla orantılıdır.
- Parçaları c·k ve b·k diye yaz, toplamı kenara eşitle.
- Açıortayın ayırdığı iki üçgenin alanları da komşu kenarlarla orantılıdır.