Konu anlatımı
Açıortay ve kenarortay, uzunlukların yanı sıra alanları da belirli oranlarda böler. Bu alt başlıkta bu oranları ve ağırlık merkezinin üçgeni nasıl eş alanlı parçalara ayırdığını göreceksin.
Kenarortay alanı ikiye böler
[AD] kenarortay ise ABD ve ADC üçgenlerinin tabanları eş, A'dan inen yükseklikleri ortaktır; bu yüzden alanları eşittir. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgen, G köşeli altı küçük üçgene ayrılır ve bu altı üçgenin alanları eşittir. G'yi köşelere birleştiren doğru parçaları ise üçgeni alanları eşit üç parçaya ayırır: GBC, GCA ve GAB üçgenlerinin her birinin alanı, üçgenin alanının üçte biridir.
Parça sayarak alan
Bir köşe, G ve bir kenarın orta noktasıyla oluşan küçük üçgenin alanı üçgenin alanının altıda biridir. A köşesi, G ve [AB] ile [AC] kenarlarının orta noktalarıyla oluşan dörtgen iki küçük üçgenden oluştuğu için alanın üçte biridir. Bir bölgenin kaç küçük üçgen içerdiğini sayarak birçok alan sorusunu hesap yapmadan çözersin.
Açıortay ile alan
[AD] iç açıortay ise D noktası [AB] ve [AC] kenarlarına eşit uzaklıktadır. Bu yüzden ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranı |AB|/|AC| oranına eşittir. Açıortay alanı ancak |AB| = |AC| olduğunda ikiye böler; bu durumda açıortay kenarortayla çakışır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninin alanı 54 cm²'dir. G ağırlık merkezi, D [BC] kenarının, E [AC] kenarının orta noktasıdır. GDC üçgeninin ve ABGE dörtgeninin alanları kaçtır?
Çözüm. Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırır; her birinin alanı 54/6 = 9 cm²'dir. GDC bu küçük üçgenlerden biridir: 9 cm². ABGE dörtgeni ABG üçgeni ile AGE üçgeninden oluşur; ABG iki küçük üçgen, AGE bir küçük üçgen içerdiği için dörtgenin alanı 3·9 = 27 cm² olur.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve [AD] iç açıortaydır. ABC üçgeninin alanı 40 cm² olduğuna göre ADC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Açıortayın ayırdığı üçgenlerin alanları komşu kenarlarla orantılıdır: ABD üçgeninin alanı ADC üçgeninin alanına 12 : 8 = 3 : 2 oranındadır. Toplam 5 parça 40 cm² olduğundan bir parça 8 cm²'dir. ADC üçgeninin alanı 2·8 = 16 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Açıortayın da kenarortay gibi alanı ikiye böldüğünü sanmak.
- Ağırlık merkezinin oluşturduğu parçaları sayarken küçük üçgenlerle büyük üçgenleri karıştırmak.
- G'yi köşelere birleştiren üç üçgenin alanlarını farklı sanmak; üçünün alanı eşittir.
- Kenarortay alanı ikiye böler.
- Üç kenarortay alanı altı eş parçaya, G'yi köşelere birleştiren doğru parçaları üç eş parçaya böler.
- Açıortayın ayırdığı alanlar komşu kenarlarla orantılıdır.