Konu anlatımı
Bir köşedeki dış açının açıortayı, karşı kenarın uzantısını üçgenin dışında bir noktada keser. Bu alt başlıkta bu noktanın yerini veren teoremi, iç ve dış açıortayın birbirine dik olmasını ve iki teoremin birlikte kullanıldığı soruları göreceksin.
Teorem
ABC üçgeninde |AB| ≠ |AC| olsun. A'daki dış açıortay BC doğrusunu E noktasında keserse |EB|/|EC| = |AB|/|AC| olur. E, kısa kenarın ucundaki köşenin ötesindedir: |AB| < |AC| ise E, B'nin ötesindedir ve |EC| = |EB| + |BC| yazılır. |AB| = |AC| ise dış açıortay [BC] kenarına paralel olur ve BC doğrusunu kesmez.
İç ve dış açıortay birlikte
Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir, çünkü iç açı ile dış açı bütünlerdir ve yarılarının toplamı 90°'dir. A'daki iç açıortay [BC] kenarını D'de, dış açıortay BC doğrusunu E'de keserse m(DAE) = 90° olur. D ve E, [BC] doğru parçasını aynı oranda biri içten öbürü dıştan böler: |DB|/|DC| = |EB|/|EC| = |AB|/|AC|.
Ne zaman kullanılır?
Soruda bir dış açının açıortayı verilmiş ve karşı kenarın uzantısında bir nokta oluşuyorsa dış açıortay teoremi devreye girer. Uzunlukları yazarken E'nin hangi köşenin ötesinde olduğunu belirlemek en önemli adımdır; yanlış tarafı seçersen denklem negatif ya da anlamsız bir sonuç verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 10 cm ve |BC| = 8 cm'dir. A köşesindeki dış açıortay BC doğrusunu E noktasında kesiyor. |EB| kaç santimetredir?
Çözüm. |AB| < |AC| olduğundan E, B'nin ötesindedir ve |EC| = |EB| + 8 olur. Dış açıortay teoremine göre |EB|/|EC| = 6/10 = 3/5'tir. |EB| = x dersek x/(x + 8) = 3/5, yani 5x = 3x + 24 ve x = 12 cm bulunur. Kontrol: |EC| = 20 ve 12/20 = 3/5.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 10 cm'dir. A'daki iç açıortay [BC] kenarını D'de, dış açıortay BC doğrusunu E'de kesiyor. |DE| kaç santimetredir?
Çözüm. İç açıortay için |BD|/|DC| = 8/12 = 2/3 ve |BD| + |DC| = 10 olduğundan |BD| = 4 cm'dir. |AB| < |AC| olduğundan E, B'nin ötesindedir: |EB|/(|EB| + 10) = 2/3 eşitliğinden |EB| = 20 cm bulunur. |DE| = |EB| + |BD| = 24 cm'dir. İç ve dış açıortay dik olduğu için DAE üçgeni A'da dik açılıdır.
Sık yapılan hatalar
- E noktasını üçgenin içinde, [BC] kenarı üzerinde aramak.
- E'nin hangi köşenin ötesinde olduğunu yanlış belirlemek; E kısa kenarın ucundaki köşenin ötesindedir.
- |AB| = |AC| olan üçgende dış açıortayın BC doğrusunu kestiğini sanmak; bu durumda dış açıortay tabana paraleldir.
- Dış açıortay: |EB|/|EC| = |AB|/|AC|; E üçgenin dışındadır.
- Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar diktir.
- |AB| < |AC| ise E, B'nin ötesindedir ve |EC| = |EB| + |BC|.