Konu anlatımı
Dört köşesi ve dört kenarı olan kapalı şekle dörtgen denir. Bu sayfada dörtgen denildiğinde dışbükey dörtgen anlaşılır: her iç açısı 180°'den küçük olan ve köşegenleri içinde kalan dörtgen. Özel dörtgenler kenarlarının paralelliği ve eşliğiyle birbirinden ayrılır ve aralarında bir aile ilişkisi vardır: kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir; dikdörtgen ve eşkenar dörtgen birer paralelkenardır; paralelkenar da en az bir çift kenarı paralel olan yamuğun özel bir durumudur.
Bu sayfada dörtgenin açı ve çevre özelliklerini, her özel dörtgenin açı, kenar, köşegen ve alan özelliklerini ve dikdörtgen katlama sorularını göreceksin. ABCD dörtgeninin çevresini Ç(ABCD), alanını A(ABCD) ile gösteriyoruz. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.
Dörtgenin açıları ve çevresi
Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırdığı için dörtgenin iç açılarının toplamı 2·180° = 360°'dir. Her köşedeki iç ve dış açının toplamı 180° olduğundan dış açıların toplamı da 360°'dir. Dörtgenin çevresi dört kenarının toplamıdır. ABCD dörtgeninde A ve B'deki iç açıortaylar E'de kesişirse m(AEB) = (m(C) + m(D))/2 olur.
Yamuk
En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir; paralel kenarlar tabanlardır. Bir yan kenara komşu iki açının toplamı 180°'dir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban tabanlara paraleldir ve uzunluğu tabanların toplamının yarısıdır. Alan, tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır. İkizkenar yamukta taban açıları eş, köşegenler eşittir.
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eştir, ardışık açıların toplamı 180°'dir ve köşegenler birbirini ortalar. Alan, bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır; kenarları a ve b, aralarındaki açı α olan paralelkenarın alanı a·b·sin α olur.
Eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare
Dört kenarı eş paralelkenara eşkenar dörtgen denir; köşegenleri birbirine dik, birbirini ortalar ve köşe açılarını ikiye böler; alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır. Dört açısı dik olan paralelkenara dikdörtgen denir; köşegenleri eşittir. Hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen olan dörtgen karedir: kenarı a olan karenin köşegeni a√2, alanı a²'dir.
Deltoid
İki çift komşu kenarı eş olan dörtgene deltoid denir. Eş kenarların birleştiği iki köşeyi birleştiren köşegen simetri eksenidir; öbür köşegeni dik keser ve ortalar. Deltoidin alanı da köşegenlerin çarpımının yarısıdır. Eşkenar dörtgen, dört kenarı eş olan özel bir deltoiddir.
Katlama
Bir dikdörtgen katlandığında katlanan parça yerini değiştirir ama biçimini ve ölçülerini korur; katlanmadan önceki ve sonraki parçalar eştir. Bir köşe başka bir noktanın üzerine katlanıyorsa katlama çizgisi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir. Bu eşlikler ve Pisagor teoremi katlama sorularının çoğunu çözer.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD dörtgeninde m(A) = 100°, m(B) = 70°, m(C) = 2x + 10° ve m(D) = 3x − 30°'dir. x kaç derecedir? D köşesindeki dış açı kaç derecedir?
Çözüm. İç açılar toplamı 360°'dir: 100° + 70° + 2x + 10° + 3x − 30° = 360°, yani 5x + 150° = 360° ve x = 42° bulunur. m(D) = 3·42° − 30° = 96° olduğundan D köşesindeki dış açı 180° − 96° = 84°'dir.
Örnek 2. ABCD yamuğunda AB ∥ CD, |AB| = 14 cm, |CD| = 6 cm ve tabanlar arasındaki uzaklık 5 cm'dir. Yamuğun orta tabanı ve alanı kaçtır?
Çözüm. Orta taban, tabanların toplamının yarısıdır: (14 + 6)/2 = 10 cm. Alan, orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır: 10·5 = 50 cm². Aynı sonuç (14 + 6)·5/2 = 50 ile de bulunur.
Örnek 3. Köşegenleri 6 cm ve 8 cm olan eşkenar dörtgenin kenar uzunluğu, alanı ve yüksekliği kaçtır?
Çözüm. Köşegenler birbirini dik ortaladığı için kenar, dik kenarları 3 ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür: 5 cm. Alan köşegenlerin çarpımının yarısıdır: 6·8/2 = 24 cm². Alan kenar ile yüksekliğin çarpımı olarak da yazılır: 5·h = 24 ve yükseklik 4,8 cm'dir.
Örnek 4. Kenarları 10 cm ve 6 cm olan bir paralelkenarın bir açısı 150°'dir. Paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Ardışık açılar bütünler olduğundan öbür açı 30°'dir ve sin 150° = sin 30° = 1/2'dir. Alan a·b·sin α = 10·6·1/2 = 30 cm²'dir. Uzun kenara ait yükseklik 6·sin 30° = 3 cm olduğundan 10·3 = 30 ile de doğrulanır.
Sık yapılan hatalar
- Dörtgenin iç açıları toplamını 180° almak; doğrusu 360°'dir.
- Paralelkenarın köşegenlerini eşit sanmak; köşegenler yalnızca dikdörtgende ve karede eşittir.
- Eşkenar dörtgenin ve deltoidin alanını köşegenlerin çarpımına eşit almak; doğrusu çarpımın yarısıdır.
- Yamukta orta tabanı tabanların toplamı sanmak; doğrusu toplamın yarısıdır.
- Katlama sorularında katlanan parçanın uzunluklarını değişmiş gibi hesaplamak.
- Dörtgende iç açılar toplamı da dış açılar toplamı da 360°'dir.
- Yamuk: orta taban (a + c)/2, alan (a + c)·h/2.
- Paralelkenar: köşegenler birbirini ortalar; alan a·h = a·b·sin α.
- Eşkenar dörtgen ve deltoid: köşegenler dik, alan e·f/2.
- Dikdörtgen: köşegenler eş; kare: köşegen a√2, alan a².