Konu anlatımı
Dört kenarı eş olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın bütün özelliklerine ek olarak köşegenleri özel bir yapıdadır. Bu alt başlıkta bu yapıyı, alan hesabının iki yolunu ve özel açılı eşkenar dörtgenleri göreceksin.
Köşegenler
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar ve birbirine diktir; ayrıca her köşegen geçtiği köşelerdeki açıları ikiye böler. Köşegenleri e ve f olan eşkenar dörtgende köşegenler dört eş dik üçgen oluşturur; bu üçgenlerin dik kenarları e/2 ve f/2, hipotenüsü kenar uzunluğu a'dır: a² = (e/2)² + (f/2)².
Alan
Eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır: e·f/2. Bir paralelkenar olduğu için alanı kenar ile yüksekliğin çarpımı olarak da yazılır: a·h. İki ifadeyi eşitlemek yüksekliği bulmanın kısa yoludur. Bir açısı α ise alan a²·sin α'dır.
Özel açılar
Bir açısı 60° olan eşkenar dörtgende kısa köşegen dörtgeni iki eşkenar üçgene ayırır; bu yüzden kısa köşegen kenara eşittir ve uzun köşegen a√3 olur. Bir açısı 90° olan eşkenar dörtgen karedir; köşegenleri eşit olur.
Dört kenarı eş olduğu için eşkenar dörtgenin çevresi 4a'dır. Köşegenlerin oluşturduğu dört dik üçgen eş olduğundan her birinin alanı eşkenar dörtgenin alanının dörtte biridir. Köşegenlerin kesişim noktası dört kenara eşit uzaklıktadır ve bu uzaklık yüksekliğin yarısıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Köşegenleri 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgenin kenar uzunluğu, alanı ve yüksekliği kaçtır?
Çözüm. Köşegenler birbirini dik ortaladığı için kenar, dik kenarları 6 ve 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür: 10 cm. Alan e·f/2 = 12·16/2 = 96 cm²'dir. Alan a·h ile de yazılabildiği için 10·h = 96 ve yükseklik 9,6 cm bulunur.
Örnek 2. Kenarı 6 cm olan bir eşkenar dörtgenin bir açısı 120°'dir. Köşegenlerinin uzunlukları ve alanı kaçtır?
Çözüm. Ardışık açılar bütünler olduğundan öbür açı 60°'dir. 120°'lik köşeleri birleştiren kısa köşegen, dörtgeni kenarları 6 cm olan iki eşkenar üçgene ayırır; kısa köşegen 6 cm'dir. Uzun köşegen bu eşkenar üçgenlerin yüksekliğinin iki katıdır: 2·3√3 = 6√3 cm. Alan 6·6√3/2 = 18√3 cm²'dir; a²·sin 120° = 36·√3/2 ile de aynı sonuç çıkar.
Sık yapılan hatalar
- Eşkenar dörtgenin köşegenlerini eşit sanmak; eşit olmaları için dörtgenin kare olması gerekir.
- Alanı köşegenlerin çarpımı olarak almak; doğrusu çarpımın yarısıdır.
- Kenarı bulurken köşegenlerin yarıları yerine tamamını Pisagor teoremine koymak.
- Köşegenler dik, birbirini ve köşe açılarını ortalar.
- Alan = e·f/2 = a·h = a²·sin α.
- Bir açısı 60° olan eşkenar dörtgende kısa köşegen kenara eşittir.