Konu anlatımı
Dikdörtgen ve kare günlük hayatta en çok karşılaşılan dörtgenlerdir. Bu alt başlıkta dikdörtgenin köşegen özelliklerini, iç noktanın köşelere uzaklıklarıyla ilgili kısa bir bağıntıyı ve karenin uzunluk ve alan özelliklerini göreceksin.
Dikdörtgen
Dört açısı dik olan paralelkenara dikdörtgen denir. Kenarları a ve b olan dikdörtgenin köşegenleri eşittir, birbirini ortalar ve uzunlukları √(a² + b²) olur; alan a·b, çevre 2·(a + b) olur. Köşegenlerin kesişim noktası dört köşeye eşit uzaklıkta olduğu için köşegenler dört ikizkenar üçgen oluşturur. Köşegenler arasındaki açı 60° ise bu üçgenlerden ikisi eşkenardır.
İç noktanın köşelere uzaklıkları
P, ABCD dikdörtgeninin içinde bir nokta olsun. P'den kenarlara paraleller çizip dört köşe için Pisagor teoremini yazarsan |PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|² bulunur; karşılıklı köşelere olan uzaklıkların kareleri toplamı eşittir. |PA| = 3, |PB| = 4 ve |PC| = 5 ise |PD|² = 9 + 25 − 16 = 18 ve |PD| = 3√2 olur.
Kare
Dört kenarı eş ve dört açısı dik olan dörtgen karedir. Kenarı a olan karenin köşegeni a√2, alanı a²'dir; köşegeni e olan karenin alanı e²/2 olur. Köşegenler eşit, birbirine dik, birbirini ortalar ve köşe açılarını 45°'lik iki açıya böler. Kare içinde kurulan şekillerde bu 45°'lik açılar ve kenarların eşliği sık kullanılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir dikdörtgenin çevresi 34 cm, köşegeni 13 cm'dir. Dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Kenarlar a ve b olsun: a + b = 17 ve a² + b² = 169. (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğinden 289 = 169 + 2ab, yani ab = 60 cm² bulunur. Kenarlar 5 ve 12 cm'dir ve 5-12-13 üçlüsü sonucu doğrular.
Örnek 2. ABCD dikdörtgeninde köşegenler O noktasında kesişiyor ve m(AOB) = 120°'dir. |AC| = 10 cm olduğuna göre dikdörtgenin kenar uzunlukları kaçtır?
Çözüm. Köşegenler eşit ve birbirini ortaladığı için |OA| = |OB| = |OC| = 5 cm'dir. m(BOC) = 180° − 120° = 60° olduğundan BOC üçgeni eşkenardır ve |BC| = 5 cm olur. ABC dik üçgeninde |AB| = √(10² − 5²) = 5√3 cm bulunur.
Örnek 3. Bir karenin köşegeni 8 cm'dir. Karenin alanı ve kenarı kaçtır?
Çözüm. Kare bir eşkenar dörtgen olduğu için alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır: 8·8/2 = 32 cm². Kenar a ise a² = 32 ve a = 4√2 cm'dir; köşegen a√2 = 4√2·√2 = 8 cm olduğundan sonuç doğrulanır.
Sık yapılan hatalar
- Dikdörtgenin köşegenlerini dik sanmak; köşegenler yalnızca karede diktir.
- Karenin alanını köşegenin karesi sanmak; doğrusu köşegenin karesinin yarısıdır.
- İç nokta bağıntısında komşu köşeleri eşleştirmek; eşleşenler karşılıklı köşelerdir.
- Dikdörtgende köşegenler eşittir ve dört ikizkenar üçgen oluşturur.
- Dikdörtgenin içindeki P için |PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|².
- Kare: köşegen a√2, alan a² = e²/2.