Konu anlatımı
Yamuk, en az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir. Bu alt başlıkta yamuğun açılarını, orta tabanını ve alanını, ikizkenar ve dik yamuğun özel durumlarını ve yükseklik çizerek yamuk sorularını üçgenlere indirmeyi göreceksin.
Açılar ve orta taban
ABCD yamuğunda AB ∥ CD olsun; [AB] ve [CD] tabanlar, [AD] ve [BC] yan kenarlardır. Paralel tabanlar bir yan kenarla karşı durumlu açılar oluşturduğu için m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180°'dir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban tabanlara paraleldir ve uzunluğu (|AB| + |CD|)/2'dir.
Alan ve yükseklik
Yamuğun alanı (|AB| + |CD|)·h/2'dir; burada h tabanlar arasındaki uzaklıktır. Bu değer orta taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Yamuk sorularında küçük tabanın uçlarından büyük tabana iki yükseklik çizmek yamuğu bir dikdörtgen ile iki dik üçgene ayırır; uzunluklar bu dik üçgenlerde Pisagor teoremiyle bulunur.
İkizkenar ve dik yamuk
Yan kenarları eş olan yamuğa ikizkenar yamuk denir; taban açıları eştir, köşegenleri eşittir ve yamuk, iki tabanın orta noktalarından geçen doğruya göre simetriktir. Bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir; bu yan kenar aynı zamanda yüksekliktir. A ve D açıları dik olan ABCD dik yamuğunda köşegenler birbirine dikse |AD|² = |AB|·|CD| olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD ikizkenar yamuğunda AB ∥ CD, |AB| = 16 cm, |CD| = 6 cm ve |AD| = |BC| = 13 cm'dir. Yamuğun yüksekliği ve alanı kaçtır?
Çözüm. C ve D'den [AB] tabanına yükseklikler çizilince ortada uzunluğu 6 cm olan bir dikdörtgen, iki yanda eş iki dik üçgen oluşur. Her dik üçgenin tabanı (16 − 6)/2 = 5 cm, hipotenüsü 13 cm'dir; yükseklik √(169 − 25) = 12 cm bulunur. Alan (16 + 6)·12/2 = 132 cm²'dir.
Örnek 2. A ve D açıları dik olan ABCD dik yamuğunda AB ∥ CD, |AB| = 9 cm ve |CD| = 4 cm'dir. Köşegenler birbirine dik olduğuna göre |AD| kaç santimetredir?
Çözüm. Köşegenler dik olduğunda ABD ve DAC dik üçgenleri benzerdir: ABD açısı ile DAC açısı, ikisi de BAC açısının tümleri olduğu için eştir. Benzerlikten |AD|/|AB| = |DC|/|AD|, yani |AD|² = |AB|·|DC| = 9·4 = 36 ve |AD| = 6 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Orta tabanı tabanların toplamı sanmak.
- Yamuğun alanında tabanlardan yalnızca birini kullanmak.
- İkizkenar yamukta yanlarda kalan parçaları (16 − 6)/2 yerine 16 − 6 almak.
- Yamukta bir yan kenara komşu açıların toplamı 180°'dir.
- Orta taban (a + c)/2, alan (a + c)·h/2.
- İkizkenar yamukta köşegenler eşittir; köşegenleri dik dik yamukta |AD|² = |AB|·|CD|.