Konu anlatımı
Deltoid, uçurtma biçimli bir dörtgendir: iki çift komşu kenarı eştir. Bu alt başlıkta deltoidin simetrisini, köşegenlerinin özelliklerini ve alanını göreceksin.
Tanım ve simetri
ABCD dörtgeninde |AB| = |AD| ve |CB| = |CD| ise ABCD bir deltoiddir. ABC ve ADC üçgenleri K.K.K. kuralıyla eş olduğu için [AC] köşegeni deltoidin simetri eksenidir: B ve D'deki açılar eştir, [AC] ise A ve C'deki açıları ikiye böler. Eşkenar dörtgen, dört kenarı eş olan özel bir deltoiddir.
Köşegenler
A ve C noktalarının her biri B ve D'ye eşit uzaklıkta olduğu için ikisi de [BD] doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. Bu yüzden [AC] köşegeni [BD] köşegenine diktir ve onu ortalar. [BD] köşegeni ise [AC] köşegenini genellikle ortalamaz.
Köşegenler dik olduğu için kenarlar, köşegen parçalarıyla kurulan dik üçgenlerde Pisagor teoremiyle bulunur. Köşegenler M noktasında kesişiyorsa |AB|² = |AM|² + |BM|² ve |CB|² = |CM|² + |BM|² olur. Simetri ekseni olmayan [BD] köşegeni ise B ve D'deki açıları genellikle ikiye bölmez.
Alan
Köşegenler dik olduğu için deltoidin alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır: |AC|·|BD|/2. Bunu görmek için deltoidi [AC] köşegeniyle ABC ve ADC üçgenlerine ayır; her birinin tabanı [AC], yüksekliği |BD|/2'dir. B ve D'deki açılar dik ise deltoid iki eş dik üçgenden oluşur ve alan |AB|·|BC| olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 13 cm, |CB| = |CD| = 15 cm ve |BD| = 24 cm'dir. |AC| ve deltoidin alanı kaçtır?
Çözüm. [AC], [BD] köşegenini dik ortalar; kesişim noktası M ise |BM| = 12 cm'dir. ABM dik üçgeninde |AM| = √(13² − 12²) = 5 cm, CBM dik üçgeninde |CM| = √(15² − 12²) = 9 cm bulunur. |AC| = 5 + 9 = 14 cm ve alan 14·24/2 = 168 cm²'dir.
Örnek 2. ABCD deltoidinde |AB| = |AD|, |CB| = |CD| ve B ile D'deki açılar 90°'dir. |AB| = 6 cm ve |BC| = 8 cm olduğuna göre |AC|, alan ve |BD| kaçtır?
Çözüm. ABC dik üçgeninde hipotenüs |AC| = √(36 + 64) = 10 cm'dir. Deltoid iki eş dik üçgenden oluştuğu için alanı 2·(6·8/2) = 48 cm²'dir. Alan |AC|·|BD|/2 ile de yazılabilir: 10·|BD|/2 = 48, buradan |BD| = 9,6 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Deltoidde iki köşegenin de birbirini ortaladığını sanmak; yalnızca simetri ekseni olan köşegen öbürünü ortalar.
- Eş açıları yanlış köşelerde aramak; eş açılar simetri ekseninin üzerinde olmayan iki köşededir.
- Alanı köşegenlerin çarpımı olarak almak.
- |AB| = |AD| ve |CB| = |CD| ise [AC] simetri eksenidir ve [BD] köşegenini dik ortalar.
- B ve D'deki açılar eştir.
- Alan = |AC|·|BD|/2.