Çember ve Daire konu anlatımı

Konu anlatımı

Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine çember denir; sabit nokta merkez, sabit uzaklık yarıçaptır. Çember ile iç bölgesinin birleşimine daire denir. Bu yüzden uzunluk çembere, alan ise daireye aittir: yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr, dairenin alanı πr²'dir.

Bu sayfada çemberin elemanlarını ve doğruyla durumlarını, kirişlerin özelliklerini, çemberde açıları, teğetin özelliklerini, üçgenin iç teğet çemberini, çevre, yay uzunluğu ve alan hesaplarını göreceksin. Yayların ölçüsünü derece cinsinden, gören merkez açıyla aynı değerde kullanıyoruz. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.

Elemanlar ve doğruyla durumlar

Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş, merkezden geçen kirişe çap denir; çap yarıçapın iki katıdır ve en uzun kiriştir. Çemberin iki noktası arasında kalan parçasına yay denir. Merkezin bir doğruya uzaklığı h olsun: h < r ise doğru çemberi iki noktada keser ve kesen adını alır, h = r ise çembere bir noktada değer ve teğet adını alır, h > r ise çemberle ortak noktası yoktur.

Kirişin özellikleri

Merkezden bir kirişe inen dikme kirişi ortalar; kirişin orta dikmesi de merkezden geçer. Uzunluğu c olan ve merkeze uzaklığı d olan kiriş için r² = d² + (c/2)² olur. Eşit kirişler merkeze eşit uzaklıktadır; merkeze daha yakın olan kiriş daha uzundur.

Çemberde açılar

Köşesi merkezde olan merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Köşesi çember üzerinde olan çevre açının ölçüsü gördüğü yayın yarısıdır; bu yüzden çapı gören çevre açı 90°'dir ve aynı yayı gören çevre açılar eştir. Teğet-kiriş açısı da gördüğü yayın yarısıdır. Kirişlerin çemberin içinde kesişmesiyle oluşan iç açı gördüğü iki yayın toplamının yarısı; kesenlerin ya da teğetlerin çemberin dışında kesişmesiyle oluşan dış açı ise gördüğü yayların farkının yarısıdır.

Teğet ve iç teğet çember

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki teğet parçasının uzunlukları eşittir. Bir üçgenin üç kenarına teğet olan iç teğet çemberin merkezi, iç açıortayların kesişim noktasıdır; m(A) = 90° olan bir üçgende bu çemberin yarıçapı (b + c − a)/2'dir.

Çevre, yay ve alan

Yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr, dairenin alanı πr²'dir. Merkez açısı α olan yayın uzunluğu 2πr·α/360°, aynı merkez açılı daire diliminin alanı πr²·α/360° olur. Aynı merkezli, yarıçapları R ve r olan iki çember arasında kalan halkanın alanı π(R² − r²)'dir.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Çevre açıyı gördüğü yaya eşit almak; çevre açı yayın yarısıdır.
• Kirişin yarısı yerine tamamını Pisagor teoremine koymak.
• Dış açıda yayların toplamını almak; dış açı yayların farkının yarısıdır.
• Teğetin değme noktasındaki yarıçapa dik olduğunu kullanmayı unutmak.
• Çevre ile alan bağıntılarını karıştırmak: 2πr uzunluk, πr² alandır.