Konu anlatımı
Bir üçgenin üç kenarına da teğet olan çembere iç teğet çember denir. Bu alt başlıkta bu çemberin merkezini, teğet parçalarının kenarlarla ilişkisini ve yarıçapı bulmanın yollarını göreceksin.
Merkez
İç teğet çemberin merkezi I, üç kenara eşit uzaklıkta olmalıdır. Bir açının kollarına eşit uzaklıktaki noktalar o açının açıortayı üzerinde olduğu için I, iç açıortayların kesişim noktasıdır. I'nın kenarlara uzaklığı iç teğet çemberin yarıçapı r'dir ve çemberin kenarlara değme noktaları, I'dan kenarlara inen dikmelerin ayaklarıdır.
Teğet parçaları
Çember [BC], [AC] ve [AB] kenarlarına D, E ve F noktalarında değsin. Her köşeden çizilen iki teğet parçası eşittir: |AE| = |AF|, |BD| = |BF| ve |CD| = |CE|. Çevrenin yarısına u dersen A'dan çizilen teğet parçası u − a, B'den çizilen u − b, C'den çizilen u − c olur; burada a, b ve c sırasıyla A, B ve C köşelerinin karşısındaki kenarlardır.
Yarıçap ve alan
I'yı köşelere birleştirirsen üçgen, yükseklikleri r olan üç üçgene ayrılır; bu yüzden alan r·u olur. m(A) = 90° olan üçgende iç teğet çemberin merkezi, A köşesi ve dik kenarlara değme noktaları kenarı r olan bir kare oluşturur; A'dan çizilen teğet parçası r olduğu için r = u − a = (b + c − a)/2 bulunur. Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgende r = (6 + 8 − 10)/2 = 2'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenarları |AB| = 13 cm, |BC| = 14 cm ve |AC| = 15 cm olan ABC üçgeninin iç teğet çemberi [BC] kenarına D noktasında değiyor. |BD| ve |DC| kaçtır?
Çözüm. Çevrenin yarısı u = (13 + 14 + 15)/2 = 21 cm'dir. B'den çizilen teğet parçası u − |AC| = 21 − 15 = 6 cm, C'den çizilen teğet parçası u − |AB| = 21 − 13 = 8 cm'dir. |BD| = 6 cm ve |DC| = 8 cm olur; toplamları |BC| = 14 cm'dir.
Örnek 2. Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç santimetredir? Sonucu alanla doğrulayınız.
Çözüm. Hipotenüs √(81 + 144) = 15 cm'dir. Dik üçgende r = (b + c − a)/2 = (9 + 12 − 15)/2 = 3 cm bulunur. Doğrulama: alan 9·12/2 = 54 cm², çevrenin yarısı 18 cm'dir ve r·u = 3·18 = 54 olur.
Sık yapılan hatalar
- İç teğet çemberin merkezini kenarortayların kesişim noktası sanmak; merkez açıortayların kesişim noktasıdır.
- Teğet parçasını yanlış kenarla hesaplamak: A'dan çizilen teğet parçası, A'nın karşısındaki a kenarıyla u − a biçiminde bulunur.
- Alan = r·u bağıntısında u yerine çevrenin tamamını kullanmak.
- İç teğet çemberin merkezi iç açıortayların kesişim noktasıdır.
- A'dan çizilen teğet parçası u − a'dır.
- Alan = r·u; dik üçgende r = (b + c − a)/2.