Konu anlatımı
Kirişin özellikleri, çemberdeki uzunluk sorularının çoğunu bir dik üçgene indirir. Bu alt başlıkta merkezden kirişe inen dikmeyi, kiriş uzunluğu ile merkeze uzaklık arasındaki ilişkiyi ve bu ilişkinin farklı sorulardaki kullanımını göreceksin.
Dikme kirişi ortalar
O merkezli çemberde [AB] kirişine merkezden inen dikmenin ayağı H olsun. OAH ve OBH dik üçgenlerinde |OA| = |OB| = r ve [OH] ortak olduğundan Pisagor teoremiyle |AH| = |HB| bulunur. Yani merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar. Tersine, kirişin orta noktasını merkeze birleştiren doğru kirişe diktir ve kirişin orta dikmesi merkezden geçer.
Uzunluk ve uzaklık
Kirişin uzunluğu c, merkeze uzaklığı d ise OAH dik üçgeninde r² = d² + (c/2)² olur. Bu bağıntıdan eşit kirişlerin merkeze eşit uzaklıkta olduğu ve merkeze daha yakın olan kirişin daha uzun olduğu görülür. Yarıçapı 10 cm olan çemberde merkeze 6 cm uzaklıktaki kiriş 2·√(100 − 36) = 16 cm'dir.
Paralel kirişler ve en kısa kiriş
Paralel iki kiriş merkeze uzaklıklarıyla birlikte düşünülür: kirişler merkezin aynı tarafındaysa aralarındaki uzaklık bu iki uzaklığın farkı, farklı taraflarındaysa toplamıdır. Çemberin içindeki bir P noktasından geçen kirişlerin en kısası, [OP] doğru parçasına P'de dik olan kiriştir; en uzunu ise P'den geçen çaptır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 13 cm olan bir çemberde uzunlukları 24 cm ve 10 cm olan paralel iki kiriş merkezin farklı taraflarındadır. Kirişler arasındaki uzaklık kaç santimetredir?
Çözüm. 24 cm'lik kirişin merkeze uzaklığı √(13² − 12²) = 5 cm, 10 cm'lik kirişinki √(13² − 5²) = 12 cm'dir. Kirişler merkezin farklı taraflarında olduğu için aralarındaki uzaklık 5 + 12 = 17 cm'dir. Aynı tarafta olsalardı uzaklık 12 − 5 = 7 cm olurdu.
Örnek 2. Yarıçapı 10 cm olan bir çemberin merkezine 6 cm uzaklıkta bir P noktası veriliyor. P'den geçen en kısa ve en uzun kirişlerin uzunlukları kaçtır?
Çözüm. P'den geçen en kısa kiriş [OP] doğru parçasına P'de diktir ve merkeze uzaklığı 6 cm'dir; uzunluğu 2·√(10² − 6²) = 16 cm olur. P'den geçen en uzun kiriş çaptır: 20 cm. P'den geçen bütün kirişlerin uzunlukları 16 cm ile 20 cm arasındadır.
Örnek 3. İç yarıçapı 25 cm olan yatay bir borunun içinde, borunun yarısından az su vardır. Su yüzeyinin genişliği 48 cm olduğuna göre suyun en derin yeri kaç santimetredir?
Çözüm. Borunun kesitinde su yüzeyi bir kiriştir ve yarısı 24 cm'dir. Merkezin su yüzeyine uzaklığı √(25² − 24²) = 7 cm olur. Su borunun yarısından az olduğu için yüzey merkezin altındadır ve en derin yer 25 − 7 = 18 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- Kirişin yarısı yerine tamamını Pisagor teoremine koymak.
- Paralel kirişler arasındaki uzaklıkta kirişlerin merkezin aynı ya da farklı tarafında olmasına bakmamak.
- Merkeze uzak olan kirişin daha uzun olduğunu sanmak; merkeze yakın olan kiriş daha uzundur.
- Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar.
- r² = d² + (c/2)².
- Bir noktadan geçen en kısa kiriş, merkezi o noktaya birleştiren doğru parçasına diktir.