Konu anlatımı
Kirişler, kesenler ve teğetler çemberin içinde, üzerinde ya da dışında kesişerek farklı açılar oluşturur. Bu alt başlıkta bu açıların gördükleri yaylarla ilişkisini ve kesişen kirişlerde oluşan benzer üçgenleri göreceksin.
İç açı
[AC] ve [BD] kirişleri çemberin içinde E noktasında kesişsin. AEB açısı ve onun ters açısı CED, AB ve CD yaylarını görür; ölçüsü bu iki yayın ölçüleri toplamının yarısıdır. Bunu görmek için [AD] kirişini çiz: AEB açısı, AED üçgeninin E köşesindeki dış açıdır ve CAD ile BDA çevre açılarının toplamına, yani CD ve AB yaylarının yarılarının toplamına eşittir.
Dış açı ve teğet-kiriş açısı
Çemberin dışındaki bir P noktasından çizilen iki kesen, bir kesen ile bir teğet ya da iki teğet bir dış açı oluşturur. Dış açının ölçüsü, kolları arasında kalan uzak yay ile yakın yayın farkının yarısıdır. Köşesi çember üzerinde, bir kolu teğet, öbür kolu kiriş olan teğet-kiriş açısının ölçüsü gördüğü yayın yarısıdır; yani aynı yayı gören çevre açıya eşittir. Bir dış noktadan çizilen iki teğet arasındaki açı ile değme noktalarını gören merkez açı bütünlerdir.
Kesişen kirişlerde benzerlik
[AC] ve [BD] kirişleri E noktasında kesişiyorsa AED ve BEC üçgenleri benzerdir: E'deki açılar ters açıdır, A ve B'deki açılar ise aynı CD yayını gören çevre açılardır. Benzerlikten |AE|/|BE| = |ED|/|EC| bulunur, yani |AE|·|EC| = |BE|·|ED| olur. Kısacası kesişen iki kirişte bir kirişin parçalarının çarpımı öbür kirişin parçalarının çarpımına eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir çember üzerinde A, B, C ve D noktaları bu sırayla yer alıyor; [AC] ve [BD] kirişleri E noktasında kesişiyor. AB yayı 70°, CD yayı 110° ve AD ile BC yayları eşit olduğuna göre m(AEB) ile AD yayı kaç derecedir?
Çözüm. İç açı, gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır: m(AEB) = (70° + 110°)/2 = 90°. Dört yayın toplamı 360° olduğundan AD ve BC yaylarının toplamı 360° − 180° = 180°'dir; eşit oldukları için her biri 90°'dir. Kirişler E'de dik kesişmektedir.
Örnek 2. Çemberin dışındaki bir P noktasından çembere çizilen iki teğet A ve B noktalarında değiyor ve m(APB) = 50°'dir. AB küçük yayı ve büyük yayı kaç derecedir? A noktasındaki teğet ile [AB] kirişi arasındaki açı kaç derecedir?
Çözüm. Merkez O ise PAOB dörtgeninde A ve B'deki açılar dik olduğundan m(AOB) = 180° − 50° = 130° olur; AB küçük yayı 130°, büyük yayı 230°'dir. Dış açı bağıntısı da (230° − 130°)/2 = 50° verir. A'daki teğet ile [AB] kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı küçük yayın yarısıdır: 65°. PAB üçgeni ikizkenar olduğundan taban açıları (180° − 50°)/2 = 65° çıkar ve sonuç doğrulanır.
Örnek 3. Bir çemberde [AC] ve [BD] kirişleri E noktasında kesişiyor. |AE| = 4 cm, |EC| = 6 cm ve |BE| = 3 cm olduğuna göre |ED| kaç santimetredir?
Çözüm. AED ve BEC üçgenleri benzer olduğundan |AE|·|EC| = |BE|·|ED| yazılır: 4·6 = 3·|ED|. Buradan |ED| = 8 cm bulunur. [BD] kirişinin uzunluğu 3 + 8 = 11 cm, [AC] kirişininki 10 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- İç açıda yayların farkını, dış açıda toplamını almak; iç açı toplamın, dış açı farkın yarısıdır.
- Teğet-kiriş açısını gördüğü yaya eşit sanmak; bu açı yayın yarısıdır.
- Kesişen kirişlerde aynı kirişin parçalarını çarpıp birbirine eşitlemek; eşitlenen, iki farklı kirişin parça çarpımlarıdır.
- İç açı, gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır.
- Dış açı, uzak ve yakın yayın farkının yarısıdır; teğet-kiriş açısı yayın yarısıdır.
- Kesişen kirişlerde |AE|·|EC| = |BE|·|ED|.