Konu anlatımı
Çemberin uzunluğu ile dairenin alanı, π sayısı aracılığıyla yarıçapa bağlıdır. Bu alt başlıkta bu bağıntıları, yarım ve çeyrek daireleri, yarıçap değişince ne olduğunu ve iç içe iki çember arasındaki halkanın alanını göreceksin.
π sayısı ve çevre
Her çemberde uzunluğun çapa oranı aynı sayıdır ve bu sayıya π denir; π yaklaşık 3,14 olan irrasyonel bir sayıdır. Bu yüzden yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr'dir. Arşimet, çembere içten ve dıştan çizdiği çokgenlerle π'nin 3 + 10/71 ile 3 + 1/7 arasında olduğunu göstermiştir. Sorularda sonuç genellikle π cinsinden bırakılır ya da π için kullanılacak yaklaşık değer verilir.
Alan
Yarıçapı r olan dairenin alanı πr²'dir. Yarım dairenin alanı πr²/2, çeyrek dairenin alanı πr²/4'tür; yarım dairesel bölgenin çevresi ise yay ile çapın toplamı olan πr + 2r'dir. Yarıçap k katına çıkınca çevre k katına, alan k² katına çıkar: yarıçapı iki katına çıkan dairenin alanı dört katına çıkar.
Halka
Aynı merkezli, yarıçapları R ve r (R > r) olan iki çember arasında kalan bölgeye halka denir; alanı πR² − πr² = π(R² − r²) olur. Büyük çemberin, küçük çembere teğet olan bir kirişinin yarısı t ise küçük çemberin değme noktasındaki yarıçapı bu kirişe diktir ve R² − r² = t² bulunur; halkanın alanı πt² olur. Yani halkanın alanı için yarıçapları ayrı ayrı bilmek gerekmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Çevresi 18π cm olan bir dairenin alanı kaç cm²'dir? Bu dairenin yarıçapı 3 cm artırılırsa alanı kaç cm² artar?
Çözüm. 2πr = 18π eşitliğinden r = 9 cm ve alan π·81 = 81π cm² bulunur. Yarıçap 12 cm olunca alan 144π cm² olur. Artış 144π − 81π = 63π cm²'dir.
Örnek 2. Aynı merkezli iki çemberden büyüğünün, küçüğe teğet olan bir kirişinin uzunluğu 16 cm'dir. İki çember arasındaki halkanın alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Küçük çembere teğet olan kiriş, değme noktasında küçük çemberin yarıçapına diktir ve merkezden inen bu dikme kirişi ortalar; kirişin yarısı 8 cm'dir. Büyük yarıçap R, küçük yarıçap r ise R² = r² + 8², yani R² − r² = 64 olur. Halkanın alanı π(R² − r²) = 64π cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Çevre ile alan bağıntılarını karıştırmak: 2πr uzunluk, πr² alandır.
- Yarıçap yerine çapı kullanmak; çap verildiğinde önce yarıya bölmek gerekir.
- Halkanın alanını π(R − r)² sanmak; doğrusu π(R² − r²) olur.
- Çevre 2πr = πd, alan πr²'dir.
- Yarıçap k katına çıkınca çevre k, alan k² katına çıkar.
- Halkanın alanı π(R² − r²) olur; teğet kirişin yarısı t ise alan πt²'dir.