Konu anlatımı
Analitik düzlem, birbirine dik iki sayı doğrusuyla, yani x ve y eksenleriyle oluşturulan ve her noktanın bir sıralı ikiliyle gösterildiği düzlemdir. A(3, −2) noktasının apsisi 3, ordinatı −2'dir. Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinatlarla ifade edip uzunluk, açı ve alan sorularını cebirle çözmeni sağlar.
Bu sayfada iki nokta arasındaki uzaklığı, bir doğru parçasını belli oranda bölen noktayı, doğrunun eğimini ve denklemini, iki doğrunun birbirine göre durumunu, bir noktanın bir doğruya uzaklığını, doğruların sınırladığı bölgelerin alanlarını ve bir eksene göre simetriyle en kısa yolu göreceksin. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.
İki nokta arasındaki uzaklık
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık, dik kenarları yatay ve düşey farklar olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). A(1, 2) ile B(7, 10) arasındaki uzaklık √(36 + 64) = 10 birimdir. Farkların karesi alındığı için noktaların hangi sırayla yazıldığı sonucu değiştirmez.
Orta nokta ve bölen nokta
[AB] doğru parçasının orta noktası ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) noktasıdır. [AB] üzerinde |AP| : |PB| = k : l olan P noktası, A'dan B'ye giden yolun k/(k + l) kadarı ilerlenerek bulunur. Köşeleri verilen bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
Eğim ve doğru denklemi
Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıya eğim açısı, bu açının tanjantına eğim denir: m = tan α. A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) olur. Eğimi m olan ve (x₁, y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi y − y₁ = m·(x − x₁)'dir; y = mx + n biçiminde n, doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
İki doğrunun durumu
Eğimleri m₁ ve m₂ olan iki doğru, m₁ = m₂ ise paraleldir ya da çakışıktır; m₁ ≠ m₂ ise tek bir noktada kesişir. Eksenlere paralel olmayan iki doğru m₁·m₂ = −1 ise birbirine diktir. Kesişim noktası iki denklemin ortak çözümüdür.
Noktanın doğruya uzaklığı
P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²) bağıntısıyla bulunur. Paralel iki doğru ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 biçiminde yazılınca aralarındaki uzaklık |c₁ − c₂|/√(a² + b²) olur.
Alanlar ve en kısa yol
Doğruların eksenleri kestiği noktalar ve birbirleriyle kesişim noktaları bulunursa sınırladıkları bölgenin alanı üçgen ve yamuk alanlarıyla hesaplanır. Bir doğrunun aynı tarafındaki iki noktayı, doğru üzerindeki bir noktaya uğrayarak birleştiren en kısa yol, noktalardan birinin bu doğruya göre simetriği alınarak bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(−2, 3) ve B(4, −5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? [AB] doğru parçasının orta noktası nedir?
Çözüm. Yatay fark 4 − (−2) = 6, düşey fark −5 − 3 = −8'dir. Uzaklık √(6² + 8²) = √100 = 10 birimdir. Orta noktanın koordinatları uçların ortalamasıdır: ((−2 + 4)/2, (3 − 5)/2) = (1, −1).
Örnek 2. Eğimi −2 olan ve (1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Bu doğru eksenlerle kaç birimkarelik bir üçgen oluşturur?
Çözüm. Denklem y − 4 = −2·(x − 1), yani y = −2x + 6'dır. x = 0 için y = 6, y = 0 için x = 3 bulunur; doğru eksenleri (0, 6) ve (3, 0) noktalarında keser. Eksenlerle oluşan dik üçgenin dik kenarları 3 ve 6 birim olduğundan alanı 3·6/2 = 9 birimkaredir.
Örnek 3. 2x − y + 3 = 0 doğrusuna dik olan ve A(4, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm. Verilen doğru y = 2x + 3 biçiminde yazılır; eğimi 2'dir. Dik doğrunun eğimi −1/2 olmalıdır, çünkü 2·(−1/2) = −1. A noktasından geçen dik doğru y − 1 = −(1/2)·(x − 4) olur; iki tarafı 2 ile çarpıp düzenleyince x + 2y − 6 = 0 bulunur. Kontrol: 4 + 2·1 − 6 = 0.
Örnek 4. P(−1, 2) noktasının 5x − 12y + 3 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
Çözüm. Uzaklık bağıntısına göre |5·(−1) − 12·2 + 3|/√(5² + 12²) = |−5 − 24 + 3|/13 = 26/13 = 2 birimdir. Doğru denklemi zaten ax + by + c = 0 biçiminde olduğu için doğrudan yerine koyabildik.
Sık yapılan hatalar
- Uzaklık bağıntısında farkların karesi yerine farkların kendisini toplamak.
- Eğimi hesaplarken paydaki ve paydadaki farkları farklı sırayla almak.
- Dik doğruların eğimlerini yalnızca ters işaretli almak; doğrusu çarpımlarının −1 olmasıdır.
- Noktanın doğruya uzaklığında doğru denklemini ax + by + c = 0 biçimine getirmeden bağıntıyı uygulamak.
- Simetri alırken iki koordinatın da işaretini değiştirmek; x eksenine göre simetride yalnızca ordinat değişir.
- |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); orta nokta uçların ortalamasıdır.
- Eğim m = tan α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
- Doğru denklemi: y − y₁ = m·(x − x₁).
- Paralel doğrularda m₁ = m₂, dik doğrularda m₁·m₂ = −1.
- Noktanın doğruya uzaklığı |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²).