Konu anlatımı
Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor teoreminin koordinatlarla yazılmış hâlidir. Bu alt başlıkta analitik düzlemi, uzaklık bağıntısını ve bu bağıntıyla kurulan soruları göreceksin.
Analitik düzlem
x ekseni ile y ekseni, başlangıç noktası denen O(0, 0) noktasında dik kesişir ve düzlemi dört bölgeye ayırır. Her nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir; x apsis, y ordinattır. Bir noktanın x eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değeri, y eksenine uzaklığı apsisinin mutlak değeridir: P(−3, 5) noktası x eksenine 5, y eksenine 3 birim uzaktadır.
Uzaklık bağıntısı
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları için yatay fark |x₂ − x₁|, düşey fark |y₂ − y₁| olur. Bu iki fark, hipotenüsü [AB] olan bir dik üçgenin dik kenarlarıdır; Pisagor teoremiyle |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) bulunur. Farkların karesi alındığı için hangi noktanın önce yazıldığı sonucu değiştirmez.
Uygulamalar
Uzaklık bağıntısı bir üçgenin kenar uzunluklarını bulmanı ve üçgenin ikizkenar ya da eşkenar olup olmadığını anlamanı sağlar. İki noktaya eşit uzaklıktaki bir noktayı bulmak için uzaklıkların karelerini eşitlemek yeterlidir; karekökle uğraşmazsın. Eksenler üzerindeki bir noktanın bir koordinatı 0'dır: x ekseni üzerindeki nokta (a, 0), y ekseni üzerindeki nokta (0, b) biçimindedir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(−1, 2), B(3, 5) ve C(6, 1) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. Bu üçgen nasıl bir üçgendir?
Çözüm. |AB| = √(4² + 3²) = 5, |BC| = √(3² + 4²) = 5 ve |AC| = √(7² + 1²) = √50 = 5√2 birimdir. İki kenar eşit olduğu için üçgen ikizkenardır. AB doğrusunun eğimi 3/4, BC doğrusununki −4/3'tür ve eğimlerin çarpımı −1 olduğundan B'deki açı diktir; üçgen ikizkenar dik üçgendir.
Örnek 2. x ekseni üzerinde, A(1, 4) ve B(7, 2) noktalarına eşit uzaklıkta olan P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm. P noktası x ekseni üzerinde olduğu için P(a, 0) biçimindedir. |PA|² = |PB|² yazarız: (a − 1)² + 4² = (a − 7)² + 2². Açınca a² − 2a + 17 = a² − 14a + 53, yani 12a = 36 ve a = 3 bulunur. P(3, 0) noktası iki noktaya da √20 = 2√5 birim uzaktadır.
Sık yapılan hatalar
- Farkların karesi yerine farkların kendisini toplamak.
- Bir noktanın x eksenine uzaklığını apsisle karıştırmak; x eksenine uzaklık ordinatın mutlak değeridir.
- Eşit uzaklık sorusunda uzaklıkları eşitlemek yerine noktaların koordinatlarını eşitlemek.
- |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
- P(x, y) noktasının x eksenine uzaklığı |y|, y eksenine uzaklığı |x| olur.
- Eşit uzaklık sorularında uzaklıkların karelerini eşitle.