Konu anlatımı
Düzlemde iki doğru ya paraleldir, ya çakışıktır ya da bir noktada kesişir. Bu alt başlıkta bu üç durumu eğimlerden tanımayı, dik doğruları ve kesişim noktasını bulmayı göreceksin.
Paralel ve çakışık doğrular
Eğimleri eşit olan iki doğru ya paraleldir ya da çakışıktır. y = 2x + 1 ile y = 2x − 3 doğrularının eğimleri eşittir ve y eksenini farklı noktalarda kestikleri için paraleldirler; ortak noktaları yoktur. Eğimleri ve y eksenini kestikleri noktalar aynıysa doğrular çakışıktır, yani aynı doğrudur.
Kesişen ve dik doğrular
Eğimleri farklı olan iki doğru tek bir noktada kesişir; kesişim noktası iki denklemin ortak çözümüdür. Eğimleri m₁ ve m₂ olan iki doğru m₁·m₂ = −1 ise birbirine diktir; örneğin y = 2x + 1 doğrusuna dik doğruların eğimi −1/2'dir. Eksenlere paralel doğrularda ise x = a doğrusu y = b doğrusuna diktir.
Paralel ya da dik doğru yazmak
Bir doğruya paralel doğru aynı eğimle, dik doğru ise eğimin ters işaretli tersiyle yazılır. 3x − y + 2 = 0 doğrusunun eğimi 3'tür; buna paralel olan ve (1, 1) noktasından geçen doğru y − 1 = 3·(x − 1), dik olan ve aynı noktadan geçen doğru ise y − 1 = −(1/3)·(x − 1) olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = 2x − 1 ve x + y = 5 doğrularının kesişim noktası nedir?
Çözüm. Kesişim noktası iki denklemi birlikte sağlar. İkinci denklemden y = 5 − x yazıp birinciyle eşitleriz: 2x − 1 = 5 − x, yani 3x = 6 ve x = 2 bulunur. y = 5 − 2 = 3 olduğundan kesişim noktası (2, 3) olur. Kontrol: 2·2 − 1 = 3 ve 2 + 3 = 5.
Örnek 2. (a − 1)x + 2y + 5 = 0 ve 3x − y + 4 = 0 doğruları paralel olduğuna göre a kaçtır? Bu doğruların dik olması için a kaç olmalıdır?
Çözüm. Birinci doğrunun eğimi −(a − 1)/2, ikincisinin eğimi 3'tür. Paralellik için −(a − 1)/2 = 3, yani a − 1 = −6 ve a = −5 bulunur; bu durumda doğrular y eksenini farklı noktalarda kestiği için çakışık değildir. Diklik için eğimlerin çarpımı −1 olmalıdır: −(a − 1)/2·3 = −1, yani a − 1 = 2/3 ve a = 5/3 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Dik doğruların eğimlerini eşit ya da yalnızca ters işaretli almak; doğrusu çarpımlarının −1 olmasıdır.
- Eğimleri eşit olan doğruların her zaman paralel olduğunu sanmak; çakışık da olabilirler.
- Kesişim noktasını bulduktan sonra iki denklemde de denemeyi unutmak.
- Paralel doğrularda m₁ = m₂, dik doğrularda m₁·m₂ = −1.
- Kesişim noktası denklemlerin ortak çözümüdür.
- Dik doğrunun eğimi, verilen eğimin ters işaretli tersidir.