Konu anlatımı
Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve soldan sağa giderken yükselip yükselmediğini gösteren sayıdır. Bu alt başlıkta eğim açısını, eğimi iki noktadan hesaplamayı ve eğimin işaretinin anlamını göreceksin.
Eğim açısı ve eğim
Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı ve saat yönünün tersine ölçülen açıya eğim açısı denir; bu açı 0° ile 180° arasındadır. Eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi denir ve m ile gösterilir: m = tan α. Eğim açısı 45° olan doğrunun eğimi 1, 135° olanın eğimi −1'dir; eğim açısı 60° ise eğim √3 olur.
İki noktadan eğim
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi, x₁ ≠ x₂ olmak üzere m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) olur. Bu oran, x bir birim arttığında y'nin ne kadar değiştiğini gösterir. A(1, 2) ve B(4, 11) için m = 9/3 = 3'tür; x her birim arttığında y 3 birim artar.
Eğimin işareti ve özel doğrular
Eğim pozitifse doğru soldan sağa yükselir, negatifse alçalır. x eksenine paralel doğruların eğimi 0'dır. y eksenine paralel doğrularda x₁ = x₂ olduğundan eğim tanımsızdır; eğim açısı 90°'dir ve tan 90° tanımsızdır. Üç noktanın aynı doğru üzerinde olması için herhangi iki nokta çiftinden hesaplanan eğimler eşit olmalıdır.
Eğimin mutlak değeri büyüdükçe doğru dikleşir: eğimi 5 olan doğru, eğimi 1/2 olan doğrudan daha diktir. Eğim, gerçek hayatta yolların ve rampaların dikliğini de anlatır: eğimi 0,08 olan, yani yüzde 8 eğimli bir yolda yatayda 100 m ilerleyince 8 m yükselinir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(−2, 5) ve B(4, −1) noktalarından geçen doğrunun eğimi ve eğim açısı nedir?
Çözüm. Eğim m = (−1 − 5)/(4 − (−2)) = −6/6 = −1'dir. Eğim negatif olduğu için eğim açısı geniş açıdır; 0° ile 180° arasında tanjantı −1 olan açı 135°'dir.
Örnek 2. A(1, 3), B(3, 7) ve C(k, 15) noktaları aynı doğru üzerinde olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm. AB doğrusunun eğimi (7 − 3)/(3 − 1) = 2'dir. Noktalar doğrusal ise AC doğrusunun eğimi de 2 olmalıdır: (15 − 3)/(k − 1) = 2. Buradan k − 1 = 6 ve k = 7 bulunur. Kontrol: BC doğrusunun eğimi (15 − 7)/(7 − 3) = 2.
Sık yapılan hatalar
- Eğimi hesaplarken paydaki ve paydadaki farkları farklı sırayla almak.
- y eksenine paralel doğrunun eğimini 0 sanmak; bu doğruların eğimi tanımsızdır.
- Eğim açısını x ekseninin negatif yönünden ölçmek.
- m = tan α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
- x eksenine paralel doğrunun eğimi 0, y eksenine paralel doğrununki tanımsızdır.
- Doğrusal üç noktada bütün çiftlerin eğimleri eşittir.