Konu anlatımı
Bir doğru parçasının orta noktası ya da onu belli bir oranda bölen nokta, uç noktaların koordinatlarının ağırlıklı ortalamasıdır. Bu alt başlıkta bu noktaları bulmayı ve ağırlık merkezi ile paralelkenar sorularına uygulamayı göreceksin.
Orta nokta
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) noktasıdır; yani orta noktanın koordinatları uçların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. A(2, −3) ile B(6, 5) için orta nokta (4, 1) olur. Bir uç ile orta nokta verilirse öbür ucun her koordinatı, orta noktanın koordinatının iki katından bilinen ucun koordinatı çıkarılarak bulunur.
İçten ve dıştan bölme
P noktası [AB] üzerinde ve |AP| : |PB| = k : l ise P, A'dan B'ye giden yolun k/(k + l) kadarı ilerlenerek bulunur: P = ((l·x₁ + k·x₂)/(k + l), (l·y₁ + k·y₂)/(k + l)). P doğru parçasının dışında, AB doğrusu üzerinde ve |PA| : |PB| = k : l ise P'ye doğru parçasını dıştan bölen nokta denir. Örneğin P, A'nın ötesinde ve |PA| : |PB| = 1 : 2 ise A, [PB] doğru parçasının orta noktası olur.
Ağırlık merkezi ve paralelkenar
Köşeleri A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) olan üçgenin ağırlık merkezi G((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3) noktasıdır. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığı için ABCD paralelkenarında [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktası aynıdır; bu yüzden A ile C'nin koordinatları toplamı, B ile D'nin koordinatları toplamına eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(−1, 3) ve B(8, −3) noktaları veriliyor. [AB] üzerinde |AP| : |PB| = 1 : 2 olan P noktasının koordinatları nelerdir?
Çözüm. P, A'dan B'ye giden yolun üçte biri kadar ilerideki noktadır. A'dan B'ye koordinat farkları 9 ve −6 olduğundan bunların üçte biri olan 3 ve −2 A'nın koordinatlarına eklenir: P(2, 1). Kontrol: |AP| = √(9 + 4) = √13 ve |PB| = √(36 + 16) = 2√13.
Örnek 2. ABCD paralelkenarının üç köşesi A(1, 1), B(5, 2) ve C(7, 7) noktalarıdır. D köşesinin koordinatları nelerdir?
Çözüm. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için A ile C'nin koordinatları toplamı, B ile D'nin koordinatları toplamına eşittir. A ile C'nin toplamı (8, 8) olduğundan D'nin koordinatları 8 − 5 = 3 ve 8 − 2 = 6'dır: D(3, 6). Kontrol: iki köşegenin orta noktası da (4, 4)'tür.
Örnek 3. Köşeleri A(−2, 1), B(4, 3) ve C(1, −7) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları nelerdir?
Çözüm. Ağırlık merkezinin koordinatları köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır: apsis (−2 + 4 + 1)/3 = 1 ve ordinat (1 + 3 − 7)/3 = −1. Ağırlık merkezi G(1, −1) noktasıdır.
Sık yapılan hatalar
- Orta noktayı bulurken koordinatları toplayıp ikiye bölmeyi unutmak.
- Bölme oranını ters uygulamak: |AP| : |PB| = 1 : 2 ise P, A'ya daha yakındır.
- Paralelkenarda köşeleri sırasız kullanmak; aynı köşegenin uçları karşılıklı köşelerdir.
- Orta nokta, uçların koordinatlarının ortalamasıdır.
- |AP| : |PB| = k : l ise P, A'dan B'ye giden yolun k/(k + l) kadarındadır.
- Ağırlık merkezi üç köşenin ortalamasıdır; paralelkenarda karşılıklı köşelerin koordinat toplamları eşittir.