Konu anlatımı
Doğrular ve eksenler birlikte üçgen, yamuk gibi bölgeler sınırlar; bu bölgelerin alanları köşe noktaları bulunarak hesaplanır. Bu alt başlıkta bu alanları ve bir eksene göre simetri alarak en kısa yolu bulmayı göreceksin. Simetri, ortaokulda öğrendiğin dönüşümlerin koordinatlarla ifadesidir.
Eksenlerle oluşan üçgen
Eksenleri (p, 0) ve (0, q) noktalarında kesen doğru, eksenlerle birlikte dik kenarları |p| ve |q| olan bir dik üçgen oluşturur; bu üçgenin alanı |p|·|q|/2'dir. 2x + 3y = 12 doğrusu eksenleri (6, 0) ve (0, 4) noktalarında keser ve eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı 6·4/2 = 12 birimkaredir.
Doğruların sınırladığı bölge
Birden çok doğrunun sınırladığı bir bölgenin alanını bulmak için önce bölgenin köşelerini, yani doğruların birbirleriyle ve eksenlerle kesişim noktalarını bulursun. Sonra bölgeyi tabanı bir eksen üzerinde olan üçgenlere ya da yamuklara ayırırsın. Tabanı x ekseni üzerinde olan bir üçgenin yüksekliği, tepe noktasının ordinatının mutlak değeridir.
Simetri ile en kısa yol
A(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği (x, −y), y eksenine göre simetriği (−x, y) noktasıdır. A ve B noktaları x ekseninin aynı tarafındaysa, x ekseni üzerindeki bir P noktası için |AP| + |PB| toplamını en küçük yapmak isteyelim. A'nın x eksenine göre simetriği K ise her P için |AP| = |KP| olur; toplam |KP| + |PB| en az |KB| kadardır. Bu yüzden aranan P, KB doğrusunun x eksenini kestiği noktadır ve en küçük toplam |KB| uzunluğudur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = x + 2 ve y = −x + 6 doğruları ile x ekseni arasında kalan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. y = x + 2 doğrusu x eksenini (−2, 0), y = −x + 6 doğrusu (6, 0) noktasında keser; taban uzunluğu 8 birimdir. İki doğrunun kesişim noktası x + 2 = −x + 6 eşitliğinden x = 2 ve y = 4 olarak bulunur; yükseklik 4 birimdir. Alan 8·4/2 = 16 birimkaredir. Eğimlerin çarpımı 1·(−1) = −1 olduğu için üçgenin tepe açısı diktir.
Örnek 2. A(1, 3) ve B(7, 5) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki bir P noktası için |AP| + |PB| toplamının en küçük değeri kaçtır ve bu durumda P'nin koordinatları nelerdir?
Çözüm. A'nın x eksenine göre simetriği K(1, −3) olsun. x ekseni üzerindeki her P için |AP| = |KP| olduğundan toplam en az |KB| = √(6² + 8²) = 10 birimdir. KB doğrusunun eğimi 8/6 = 4/3 olduğundan denklemi y + 3 = (4/3)·(x − 1) olur; y = 0 yazınca x − 1 = 9/4 ve x = 13/4 bulunur. En küçük toplam 10 birimdir ve P(13/4, 0) olur.
Sık yapılan hatalar
- Simetri alırken iki koordinatın da işaretini değiştirmek; x eksenine göre simetride yalnızca ordinat işaret değiştirir.
- A ve B eksenin farklı taraflarındayken de simetri almak; bu durumda [AB] doğru parçası ekseni zaten keser ve en kısa yol odur.
- Alan hesabında yüksekliği tepe noktasının apsisiyle karıştırmak.
- Eksen kesimleri p ve q olan doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı |p|·|q|/2'dir.
- Bölgenin köşelerini kesişim noktalarıyla bul, sonra bölgeyi üçgenlere ayır.
- x eksenine göre simetri (x, y) noktasını (x, −y) noktasına götürür; en kısa yol simetrik noktayla kurulur.