Konu anlatımı
Bir doğrunun denklemi, üzerindeki bütün noktaların koordinatlarının sağladığı eşitliktir. Bu alt başlıkta doğru denklemini farklı bilgilerden yazmayı, denklemin farklı biçimlerini ve eksenleri kestiği noktaları bulmayı göreceksin.
Nokta ve eğimle
Eğimi m olan ve A(x₁, y₁) noktasından geçen doğru üzerindeki her P(x, y) noktası için AP doğrusunun eğimi m'dir: (y − y₁)/(x − x₁) = m. Buradan doğrunun denklemi y − y₁ = m·(x − x₁) olur. Eğimi 2 olan ve (3, 1) noktasından geçen doğru y − 1 = 2·(x − 3), yani y = 2x − 5'tir. İki nokta verilmişse önce eğim bulunur, sonra noktalardan biriyle denklem yazılır.
Denklemin biçimleri
y = mx + n biçiminde m eğim, n doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. ax + by + c = 0 genel biçiminde b ≠ 0 ise eğim −a/b'dir. Doğrunun x eksenini kestiği nokta y = 0, y eksenini kestiği nokta x = 0 yazılarak bulunur. Eksenleri (p, 0) ve (0, q) noktalarında kesen doğrunun denklemi x/p + y/q = 1 biçiminde de yazılabilir.
Özel doğrular
x eksenine paralel ve (0, k) noktasından geçen doğrunun denklemi y = k, y eksenine paralel ve (k, 0) noktasından geçen doğrunun denklemi x = k'dir. Başlangıç noktasından geçen doğrular y = mx biçimindedir. y = x doğrusu birinci ve üçüncü bölgelerin, y = −x doğrusu ise ikinci ve dördüncü bölgelerin açıortayıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(1, 2) ve B(3, 8) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Bu doğru eksenleri hangi noktalarda keser?
Çözüm. Eğim (8 − 2)/(3 − 1) = 3'tür. A noktası kullanılarak y − 2 = 3·(x − 1), yani y = 3x − 1 bulunur. x = 0 için y = −1 olduğundan doğru y eksenini (0, −1) noktasında keser; y = 0 için x = 1/3 olduğundan x eksenini (1/3, 0) noktasında keser.
Örnek 2. Eksenleri (4, 0) ve (0, −6) noktalarında kesen doğrunun denklemi ve eğimi nedir?
Çözüm. Eksen kesimleriyle denklem x/4 + y/(−6) = 1 olur. İki tarafı 12 ile çarparsak 3x − 2y = 12 bulunur. y'yi yalnız bırakınca y = (3/2)x − 6 olur ve eğim 3/2'dir. Kontrol: (4, 0) ve (0, −6) noktalarından eğim (−6 − 0)/(0 − 4) = 3/2.
Sık yapılan hatalar
- y − y₁ = m·(x − x₁) denkleminde noktanın koordinatlarının yerini değiştirmek.
- ax + by + c = 0 biçiminde eğimi a/b ya da −b/a almak; doğrusu −a/b'dir.
- x = k doğrusunu x eksenine paralel sanmak; bu doğru y eksenine paraleldir.
- y − y₁ = m·(x − x₁).
- y = mx + n biçiminde eğim m, y eksenini kestiği noktanın ordinatı n'dir.
- Eksen kesimleri p ve q ise x/p + y/q = 1.