Çokgenler konu anlatımı

Konu anlatımı

Doğru parçalarının uç uca eklenmesiyle oluşan, kenarları yalnızca uçlarında birleşen kapalı şekle çokgen denir. Kenar sayısına göre üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen diye adlandırılır; n kenarlı çokgenin n köşesi ve n iç açısı vardır. Arı peteğindeki altıgen gözler, yer döşemelerindeki kareler ve geleneksel mimarideki geometrik motifler günlük hayattaki çokgen örnekleridir.

Bu sayfada çokgenin iç ve dış açılar toplamını, düzgün çokgenlerde bir iç ve bir dış açıyı, açılardan kenar sayısını bulmayı, düzgün çokgenlerin birleştiği şekillerde açı hesabını ve bir noktanın çevresini düzgün çokgenlerle kaplamayı göreceksin. Yalnızca dışbükey çokgenler ele alınır; çokgenlerde köşegen özellikleri ve alan hesabı bu konunun kapsamında değildir.

Çokgen ve elemanları

Çokgeni oluşturan doğru parçalarına kenar, kenarların birleştiği noktalara köşe denir. Bir köşede iki kenarın çokgenin iç tarafında oluşturduğu açı iç açı, bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında kalan açı dış açıdır. Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Bütün iç açıları 180°'den küçük olan çokgene dışbükey çokgen denir.

İç açılar toplamı

Çokgenin içinde bir nokta alıp bu noktayı köşelere birleştirirsen n kenarlı çokgen n üçgene ayrılır. Bu üçgenlerin açıları toplamı n·180°'dir; bunun 360°'si içteki noktanın çevresindeki açılardır. Bu yüzden n kenarlı çokgenin iç açılar toplamı (n − 2)·180°'dir: beşgende 540°, altıgende 720°, sekizgende 1080°.

Dış açılar toplamı

Her köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir. n köşedeki iç ve dış açıların toplamı n·180° olduğundan dış açılar toplamı n·180° − (n − 2)·180° = 360°'dir. Bu toplam kenar sayısına bağlı değildir; üçgende de ongende de dış açılar toplamı 360°'dir.

Düzgün çokgenler

Bütün kenarları ve bütün açıları eş olan çokgene düzgün çokgen denir. Düzgün n-genin bir dış açısı 360°/n, bir iç açısı 180° − 360°/n'dir. Düzgün altıgenin bir dış açısı 60°, bir iç açısı 120°'dir; düzgün sekizgende bu değerler 45° ve 135°'dir. Bir açıdan kenar sayısı bulunurken her zaman dış açı kullanılır: n = 360° ÷ dış açı.

Kaplama ve birleşik şekiller

Düzgün çokgenler bir noktanın çevresinde boşluk kalmadan ve üst üste binmeden birleşiyorsa o noktadaki iç açıların toplamı 360°'dir. Tek tür düzgün çokgenle bu yalnızca eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgenle mümkündür. İki düzgün çokgen bir kenarı paylaşıyorsa ortak köşedeki açıları toplar, eş kenarlarla oluşan ikizkenar üçgenleri kullanırsın.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• İç açılar toplamını n·180° almak; doğrusu (n − 2)·180°'dir.
• Dış açılar toplamının kenar sayısıyla arttığını sanmak; her dışbükey çokgende 360°'dir.
• Kenar sayısını bulmak için 360°'yi iç açıya bölmek; 360° dış açıya bölünür.
• Düzgün olmayan bir çokgende bütün açıların eşit olduğunu varsaymak.
• Bir noktada kaplamada iç açılar yerine dış açıları toplamak.