Konu anlatımı
Üçgenin iç açılar toplamının 180°, dörtgeninkinin 360° olduğunu biliyorsun. Bu alt başlıkta her çokgen için iç açılar toplamını veren bağıntıyı, nasıl elde edildiğini ve sorularda nasıl kullanıldığını göreceksin.
Bağıntı
n kenarlı bir çokgenin iç bölgesinde bir P noktası al ve P'yi bütün köşelere birleştir. Çokgen, her biri bir kenarı taban kabul eden n üçgene ayrılır ve bu üçgenlerin açıları toplamı n·180°'dir. Bu toplamın içinde P'nin çevresindeki açılar da vardır ve onların toplamı 360°'dir. Geriye kalan açılar çokgenin iç açılarıdır: n·180° − 360° = (n − 2)·180°.
Değerler
Bağıntıya göre iç açılar toplamı üçgende 180°, dörtgende 360°, beşgende 540°, altıgende 720°, sekizgende 1080° ve ongende 1440°'dir. Kenar sayısı bir artınca iç açılar toplamı 180° artar, çünkü çokgene bir üçgen eklenmiş gibi olur.
Bağıntıyı bildiğin çokgenlerle sınayabilirsin: n = 3 için (3 − 2)·180° = 180°, n = 4 için 2·180° = 360° bulunur ve bunlar üçgen ile dörtgen için bildiğin değerlerdir. Düzgün olmayan bir beşgende açılar birbirinden farklı olabilir, ama toplamları yine 540°'dir.
Bağıntıyı ters kullanmak
İç açılar toplamı verilirse kenar sayısı bulunur: toplam 1260° ise (n − 2)·180° = 1260° eşitliğinden n − 2 = 7 ve n = 9'dur. Toplam 180°'nin tam katı değilse böyle bir çokgen yoktur. Bazı açıları verilen bir çokgende eksik açı, iç açılar toplamından bilinen açılar çıkarılarak bulunur. Bütün açıları eşit olan bir çokgende her açı, iç açılar toplamının kenar sayısına bölümüdür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir beşgenin dört iç açısı 100°, 110°, 120° ve 95°'dir. Beşinci iç açı kaç derecedir?
Çözüm. Beşgenin iç açılar toplamı (5 − 2)·180° = 540°'dir. Verilen dört açının toplamı 100° + 110° + 120° + 95° = 425°'dir. Beşinci açı 540° − 425° = 115° bulunur; bu açı 180°'den küçük olduğu için beşgen dışbükeydir.
Örnek 2. Bir çokgenin kenar sayısı 3 artırılırsa iç açılar toplamı kaç derece artar? İç açılar toplamı 1800° olan çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Çözüm. Her yeni kenar iç açılar toplamını 180° artırır; 3 kenar eklenince toplam 3·180° = 540° artar. (n − 2)·180° = 1800° eşitliğinden n − 2 = 10 ve n = 12 bulunur; çokgen on iki kenarlıdır.
Sık yapılan hatalar
- İç açılar toplamını n·180° almak.
- Toplamdan kenar sayısını bulurken 2 eklemeyi unutmak.
- Eksik açıyı bulurken iç açılar toplamı yerine dış açılar toplamını kullanmak.
- İç açılar toplamı (n − 2)·180°'dir.
- Kenar sayısı bir artınca toplam 180° artar.
- Toplam 180°'nin tam katı değilse böyle bir çokgen yoktur.